Symplektische Struktur des Phasenraums

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Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1


ist Vektor im Phasenraum


ist Ableitungsvektor


ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:



Leicht läßt sich zeigen:



Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade


Die kanonischen Gleichungen lauten



Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:



Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:




Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:



Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:





Dabei sind:




Beweis:


Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:



Beweis:

In Matrixform lautet diese Gleichung:



Die linke Seite (M) lautet:



Die rechte Seite lautet:



Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:



Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:



es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

  1. Schiefsymmetrie:
,
Beweis: 
  1. bilinear:
  1. nichtentartet:


Nebenbemerkung: Es gilt:

Also Selbstorthogonalität

Beweis:


Die Symplektische Struktur auf dem

ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:



Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:



Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit


bildet die reelle symplektische Gruppe S über

.


Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Gruppeneigenschaften

1.


Beweis:


2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)

3. Einselement Einheitsmatrix!

  1. Inverse:

Beweis:


Dabei gilt :

Beweis: Übungsaufgabe

  1. Weiter gilt:

Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen

kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:


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