Quantentheoretischer Zugang

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Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Kastne mit Länge L und Energiedifferenz : (Volumen)

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.

für unendlich hohe Wände

Einteilchenfunktion

mit

und Energieeigenwerten

Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert

(3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen

periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten:


Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:

man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B




sind dicht ~

Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt:

Vielteilchenzustände

Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?

  • N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt

→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:

i: Teilchennummer
mit Quantenzahln n

→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)

wobei die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist

Vorläuftig :

aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte


die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein

Das geht für:

Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch(+) und antisymmetrisch(-) bezeichnet:

Fermionen (-) 
antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-)
symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))


Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.

(klassich: Grenzfall beider )


Beispiel:2 Teilchen

vorläuftig Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie Daher (Anti)symmetriesierung durch

wobei der Normierungsfaktor ist.

((3 Teilchen als Übung))

Interpretation:

  • In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
  • In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)

→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

  • allgemin Ansätzte für N-Teilchen

recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.

jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen

Datei:Fermi-Bose aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:


ist gekennzeichnet durch

  1. die Gesamtteilchenzahl N
  2. wo man die Teilchen sitzen hat n



als Quantenzahl mit
Teilchen
  • Fermionen
  • Bosonen


2 Bosonen 2 Fermionen

verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.

Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:

massive Bosonen 
Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
masselose Bosonen
z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)

man kann sich H anschauen:

→massive Bosonen


→masselose Bosonen


chemisches Potential


muss am Beispiel später klargemacht werden.


massive Bosonen 
masselose Bosonen

Wechselwirkung von System und Umgebung

System und Umgebung auf das System wirken externe Felder () und die Umgebung oder Bad enstpricht einem großen Puffer

"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung im Allgemeinen:

(immer richtig)

Annahme

System 
Bad 

Problem gelöst. System bespielsweise H-Atom Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren

ABBILDUNG

"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"

hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab

Spannt den ganzen Raum auf

, abstrakte Vielteilchenzustände

wollen Systemgröße beobachten

Observable des Systems O_s wirkt nicht auf

, nur auf
's:




wird Dichtematrix genannt oder Matrix des statistischen Operators mit den Matrixelementen


→ führe statistischen Operator ein

Erwartungwert in System mit Umgebung:

mit



ist die Mittelungsformel der statistischen Physik.


statistischer Operator

Frage: Was kann man über herausfinden?

kann 2 Eigenschaften

  • hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
  • denn ebenso Diagonalelemente (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)


wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften


es existiert die Diagonaldarstellung


Bemerkungen

Interpreatation

Interpreation von \rho

in Diagonaldarstellung

werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand

realisiert wird interpretiert.


klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
Mittelung über das besprochene Ensenble

Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit wi zum Meßergebnis bei.


Zeitabhängigkeit

wi= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion

vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S


Reine und gemischte Zustände

reiner Zustand ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt , alle anderen 's sind 0

Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!



Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man

quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen

z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich




Eingenwertgleichung

Lösung der Eigenwergleichung für \rho :

daraus folgt

  1. , somit


Eigenwerte von sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.

Beispiel für gemischten Zustand

: einfach machen

Photon: mit Polarisation

= 2 Zustände


wird druch

Zustände sind alle Möglich.

reiner Zustand

reiner zustand

für festes a,b

mit a,b beliebig z.B

... alles reine Zustände


gemischter Zustand

dann ist


wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten unterscheiden? Läuft über Spur (Übungsaufgabe)

((LÖSUNG :gemischt sonst rein))

immer noch nicht bekannt 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen

Aufgaben der statistischen Physik

3wichtige
  • dynamische Gelichungen für um den statistischen Operator zu bestimmen bei externen Feldern
  • Anfangsbedinugungen festlegen vor Einschalten externer Felder
  • Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in einzubauen (z.B. Temperatur)