Poisson- Klammern

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen




Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:



Die zeitliche Änderung längs der Bahn

im Phasenraum



Definition:

Für zwei beliebige Observablen

und

heißt



Poisson- Klammer

Eigenschaften

  1. die Poissonklammer ist eine schiefsymmetrische nicht entartete Bilinearform. Das bedeutet jedoch, sie definiert ein symplektisches Skalarprodukt im Phasenraum:


Aufgrund der schiefsymmetrischen Struktur und der Bilinearität sowie der Nichtentartung und der daraus folgenden Selbstorthogonalität gilt:

1.Schiefsymmetrie:


2.bilinear:


3.nichtentartet:

(Nullelement, wegen

)


Nebenbemerkung: Es gilt:

Also Selbstorthogonalität

Weiter gilt die Produktregel (Leibnizregel):


Die Jacobi- Identität:


Weiter gilt:


Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:

Beweis: Trafo: x→y

Die Jacobi- Determinante

ist symplektische Matrix,

das heißt, es gilt:

,
da ja 


Nun muss man umrechnen von :



Also:



Für nicht explizit zeitabhängige Observable

gilt:



g ist genau dann Bewegungskonstante, wenn gilt:



Speziallfall: g ist Koordinate der Impuls:



So folgen die Hamiltonschen Gleichungen

Kompakt kann geschrieben werden:



Fundamentale Poisson- Klammern:



Kompakt:



Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen, da



Jedoch ist auch die Umkehrung richtig: ist die Transformation kanonisch, so gelten die obigen Poissonklammer- Beziehungen.

Somit:

Satz: Die Transformation

ist genau dann kanonisch, wenn :



Beweis: Zur Vereinfachung: Nicht explizit zeitabhängige Trafos:


Bewegungsgleichung:


Wegen
kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:



Also folgt:



Mit der Bedeutung


Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten → Trafo kanonisch


 fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen!

Folgende Aussagen sind äquivalent:


ist kanonisch


die kanonischen Gleichungen

sind invariant


die Poissonklammern {f,g} sind invariant für alle f und g


die fundamentalen Poissonklammern

sind ivariant


die Jacobi- Matrix

ist symplektisch, das heißt


es existiert eine Erzeugende!

Bezug zur Quantenmechanik

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen

zum qm. Operator:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g:H→H}

mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer:

zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:



Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:



Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.

… weitere Daten zur Seite „Poisson- Klammern
InhaltstypDieses Attribut ist ein Spezialattribut in diesem Wiki.
Script +