Zwangsbedingungen und Zwangskräfte

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zwangsbedingungen und Zwangskräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch

Holonome (integrable) Zwangsbedingungen

Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung{{#set:Fachbegriff=Zwangsbedingung|Index=Zwangsbedingung}} $\lambda$ gilt:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt dann $f=3N-\nu$

{{#set:Definition=Freiheitsgrade|Index=Freiheitsgrade}}

Beispiel:Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand Punkte 1,2,3 mit Abständen $l_{i}j$ ${{l}_{ij}}$ einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen: ${\begin{aligned}&{{f}_{1}}=|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0\\&{{f}_{2}}=|{{\vec {r}}_{2}}-{{\vec {r}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0\\&{{f}_{3}}=|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{3}}|-{{l}_{13}}=0\\\end{aligned}}$ Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt $f=3N-\nu =9-3=6$

Starrer Körper aus N Teilchen

N	Hinzukommende Einschränkungen	Zwangsbedingungen ($\nu$)	Freiheitsgrade $f=3N-\nu$
1	0	0	3
2	1	1	5
3	2	3	6
4	3	6	6
5	3	9	6
...	..	..	..
$N\geq 4$	3	3N-6	6

Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N$ Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.

Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle $\lambda =1,...,\nu$ die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also $\operatorname {Rang} \left({\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}}}\right)=\nu$ Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für $N\geq 3$. Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ . Alle Bahnen ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ müssen nun jedoch die $\nu$ unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen: ${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

Das totale Differenzial{{#set:Fachbegriff=totale Differenzial|Index=totale Differenzial}} ( längs der Bahn ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ ) läßt sich schreiben:

${\frac {d{{f}_{\lambda }}}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential{{#set:Fachbegriff=vollständige Differential|Index=vollständige Differential}}:

$d{{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Nichtholonome Zwangsbedingungen

Nun sind jedoch nichtholonome Zwangsbedingungen der Art: $\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

{{#set:Definition=nichtholonome Zwangsbedingungen|Index=nichtholonome Zwangsbedingungen}}

Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform{{#set:Fachbegriff=Pfaffsche Differenzialform|Index=Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor{{#set:Fachbegriff=integrierender Faktor|Index=integrierender Faktor}} ${{g}_{\lambda }}$ existiert, so dass

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Gleichbedeutend mit

${\begin{aligned}&{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\\&{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda 0}}={\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also ${{\vec {r}}_{i}}(t)\quad i=1...N$ möglich sind, also ${{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...{{\vec {r}}_{N}}$ beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn ${{\vec {r}}_{i}}(t)\quad i=1...N$ )

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist $d{{\vec {r}}_{i}}(t)$ durch die momentane Radrichtung bestimmt

Zeitabhängigkeit

Es ist weiter zu unterscheiden

• zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom{{#set:Fachbegriff=rheonom|Index=rheonom}}
• zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen skleronom{{#set:Fachbegriff=skleronom|Index=skleronom}}

Zwangsbedingungen als Ungleichungen

z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden

Zwangskräfte

Bewegungsgleichungen

${{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)={{\vec {F}}_{i}}+\sum \limits _{j}{{{\vec {F}}_{ij}}=:{{\vec {X}}_{i}}}\quad i=1...N$

diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der äußeren Kräfte{{#set:Fachbegriff=äußeren Kräfte|Index=äußeren Kräfte}}, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte{{#set:Fachbegriff=inneren Kräfte|Index=inneren Kräfte}} durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man eingeprägte Kräfte{{#set:Fachbegriff=eingeprägte Kräfte|Index=eingeprägte Kräfte}}.

Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu$ holonome Nebenbedingungen{{#set:Fachbegriff=holonome Nebenbedingungen|Index=holonome Nebenbedingungen}}

oder

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$anholonome Nebenbedingungen{{#set:Fachbegriff=anholonome Nebenbedingungen|Index=anholonome Nebenbedingungen}}

zu lösen.

Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.

Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte{{#set:Fachbegriff=Zwangskräfte|Index=Zwangskräfte}} ${{\vec {Z}}_{i}}$ erzwungen werden.

Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:

${{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)={{\vec {F}}_{i}}+\sum \limits _{j}{{{\vec {F}}_{ij}}+{{\vec {Z}}_{i}}=:{{\vec {X}}_{i}}+{{\vec {Z}}_{i}}}\quad i=1...N$

Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene. schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg Es gilt: ${\begin{aligned}&{\vec {Z}}=mg\cos \vartheta \cdot \left({\begin{matrix}\sin \vartheta \\\cos \vartheta \\\end{matrix}}\right)\\&{\vec {F}}=-mg\cdot \left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)\\&{\vec {Z}}+{\vec {F}}=mg\sin \vartheta \cdot \left({\begin{matrix}\cos \vartheta \\-\sin \vartheta \\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$