SchwingendeRollendeWagen

Das im Bild dargestellte System besteht aus zwei Wagen mit einer Feder.

Für t < 0 befindet sich das System unter Wirkung der Kraft $F=1,3kN$ im Gleichgewicht, die die Feder mit der Federsteifigkeit $k=2500N/m$ ist zusammengedrückt. Für $t=0$ wird die Kraft F plötzlich entfernt und die Wagen setzen sich in Bewegung. Die Masse des Wagens A ist gegeben mit $m_{A}=1,2kg$ und die von B mit $m_{B}=0,6kg$ .

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v_{B}$ , mit der sich der Wagen B nach dem Ablösen von A bewegt.

Lösung

Verwendete Formeln: ^[1]^[2]Auflösung von Federkraft{{#set:Fachbegriff=Federkraft|Index=Federkraft}} und Energieerhaltung{{#set:Fachbegriff=Energieerhaltung|Index=Energieerhaltung}} nach x und v Mathematica Rechnung:

N[F] = 1300; N@k = 2500; N@mA = 1.2; N@mB = 0.6; v =.; x =.

{x, v} = {x, v} /. 

  Solve[{k x == F, 1/2 k x^2 == 1/2 (mA + mB) v^2}, {v, x}][[2]]

N@v

Zahlenwert:Zahlenwert::19.3793 in Einheit::m/s

b) Wagen B prallt zentral auf einen ruhenden Wagen C der Masse mC = 1 kg. Wagen B kommt komplett zum stehen (inelastischer Stoß). Wie schnell fährt Wagen C?

Lösung

Verwendete Formeln: ^[3] Impulserhaltung{{#set:Fachbegriff=Impulserhaltung|Index=Impulserhaltung}} Mathematica Rechnung:

N@mC = 1; v2 =.

v2 = v2 /. Solve[mB v == mC v2, v2][[1]]

N@v2

Zahlenwert:Zahlenwert::11.6276 in Einheit::m/s

c) Geben Sie die Differentialgleichung an, mit der der Wagen A harmonisch schwingt. (Beachten Sie, dass der Wagen B sich abgelöst hat.)

Lösung

Verwendete Formeln: ^[4]^[5]^[6]^[7] $m{\dot {\dot {x}}}=-kx$

d) Mit welcher Frequenz schwingt der Wagen A nach dem Ablösen?

Lösung

Verwendete Formeln: ^[8]es handelt sich um ein Federpendel Mathematica Rechnung:

Clear[x];

DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
N[Sqrt[k/mA]]

Zahlenwert:Zahlenwert::45.6435 in Einheit::1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet

x(t)\to c_{2}\sin \left({\frac {{\sqrt {k}}t}{\sqrt {m_{A}}}}\right)+c_{1}\cos \left({\frac {{\sqrt {k}}t}{\sqrt {m_{A}}}}\right)

Die Kreisfrequenz{{#set:Fachbegriff=Kreisfrequenz|Index=Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch

2\pi

teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (

\nu =11.4109s^{-1}

)

e) Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m =15 s^(-1) gebremst würde.

Lösung

Verwendete Formeln: ^[9] Mathematica Rechnung:

r =.;
DSolve[mA x''[t] == -k x[t] - r x'[t], x[t], t]
N@\[Beta] = 15;
r = \[Beta] 2 mA
N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))

Zahlenwert:Zahlenwert::43.1084 in Einheit::1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet

x(t)\to c_{1}e^{\frac {t\left(-{\sqrt {r^{2}-4km_{A}}}-r\right)}{2m_{A}}}+c_{2}e^{\frac {t\left({\sqrt {r^{2}-4km_{A}}}-r\right)}{2m_{A}}}

.

$\nu =6.86091{\frac {1}{s}}$

Fakten zur Klausuraufgabe SchwingendeRollendeWagen[edit source]

Quellen

↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5.E {{#set:PhIng=3.5.E}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.4 {{#set:PhIng=2.4}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 1.7 {{#set:PhIng=1.7}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.29 {{#set:PhIng=4.29}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.33 {{#set:PhIng=4.33}}

Datum: {{#arraymap:SS08|,|x|KADatum::x}}
Aufgabe: {{#arraymap:4|,|x|KAAufgabe::x}}
Abschnitt: {{#arraymap:MSW|,|x|KAAbschnitt::x}}
Punkte: KAPunkte::10
Tutorium: KATut::

Semantische Daten

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Kategorie:Klausuraufgabe

[1] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}

[2] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5.E {{#set:PhIng=3.5.E}}

[3] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}

[4] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.4 {{#set:PhIng=2.4}}

[5] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}

[6] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 1.7 {{#set:PhIng=1.7}}

[7] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}

[8] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.29 {{#set:PhIng=4.29}}

[9] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.33 {{#set:PhIng=4.33}}

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