Quantentheoretischer Zugang

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Quantentheoretischer Zugang basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Kastne mit Länge L und Energiedifferenz $\Delta \epsilon$  :$V=L^{3}$ (Volumen)

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.

$H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)$ für unendlich hohe Wände

Einteilchenfunktion

${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)$ mit ${\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...$

und Energieeigenwerten

${{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)$

Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert

${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle$(3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen

${{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}$ periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten: ${{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:

${\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}$

man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B $\sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}$

${{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

$\Delta k$ sind dicht ~ ${\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}$

Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt:${{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

Vielteilchenzustände

Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?

• N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt

→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:

$H=\sum \limits _{i}{{H}_{i}}\,;\,{{H}_{i}}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({{\vec {r}}_{i}}\right)$ i: Teilchennummer

$H{{\Psi }_{n,N}}\left(\underbrace {\left\{{{r}_{i}}\right\}} _{\text{alle Koordinaten}}\right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)$ mit Quantenzahln n

→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände{{#set:Fachbegriff=Produktzustände|Index=Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)

${{\varepsilon }_{n,N}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}$ wobei ${{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)$ die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist

Vorläuftig :

${{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)$

aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte

${{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}$

die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein ${{X}_{i}}=\left({{\vec {r}}_{i}},{{\vec {s}}_{i}}\right)$

Das geht für: $\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)$

Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch{{#set:Fachbegriff=symmetrisch|Index=symmetrisch}}(+) und antisymmetrisch{{#set:Fachbegriff=antisymmetrisch|Index=antisymmetrisch}}(-) bezeichnet:

Fermionen (-) antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin Bosonen (-) symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))

{{#set:Definition=Fermionen, Bosonen|Index=Fermionen, Bosonen}}

Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.

(klassich: Grenzfall beider $T\to \infty$)

Beispiel:2 Teilchen $i=1,2\,\,;\,\,n=a,b$ vorläuftig$\Psi ={{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)$ Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie Daher (Anti)symmetriesierung durch ${{\Psi }^{F/B}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)\mp {{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)\right)$ wobei ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ der Normierungsfaktor ist.

((3 Teilchen als Übung))

Interpretation:

• In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
• In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)

→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

• allgemin Ansätzte für N-Teilchen

${{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}$

${{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}$

recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.

jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen

Datei:Fermi-Bose aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:

${{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)=\left\langle {{\vec {r}}_{i}}|N,n\right\rangle \to \left|N,n\right\rangle$

$\left|N,n\right\rangle =?$

ist gekennzeichnet durch

1. die Gesamtteilchenzahl N
2. wo man die Teilchen sitzen hat n

$\left|N,n\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{n}_{1}}&{{n}_{2}}&\cdots &{{n}_{k}}&\cdots &{{n}_{N}}\\{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle$

${{n}_{k}}$ als Quantenzahl mit

${{N}_{k}}$ Teilchen

• Fermionen ${{N}_{k}}=0,1$
• Bosonen ${{N}_{k}}=0,1,...,N$

verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.

Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:

massive Bosonen{{#set

Fachbegriff=massive Bosonen|Index=massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen

masselose Bosonen{{#set

Fachbegriff=masselose Bosonen|Index=masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)

man kann sich H anschauen:

${\frac {\partial H}{\partial N}}\neq 0$ →massive Bosonen

${\frac {\partial H}{\partial N}}=0$ →masselose Bosonen

${\frac {\partial H}{\partial N}}:=\mu$ chemisches Potential

{{#set:Definition=chemisches Potential|Index=chemisches Potential}}

muss am Beispiel später klargemacht werden.

massive Bosonen

$\mu \neq 0$

masselose Bosonen

$\mu =0$

Wechselwirkung von System und Umgebung

System und Umgebung auf das System wirken externe Felder ($h_{\alpha }$) und die Umgebung oder Bad enstpricht einem großen Puffer

$H={{H}_{ges}}=\underbrace {{H}_{S}} _{\text{System}}+\underbrace {{H}_{B}} _{\text{Bad}}+\underbrace {{H}_{SB}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Wechsel-}}\\{\text{wirkung}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }\left(t\right)} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder die }}\\{\text{auf das System wirken}}\end{smallmatrix}}$

"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung im Allgemeinen:

${\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi$ (immer richtig)

Annahme

System

${{H}_{S}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle$

Bad

${{H}_{B}}\left|b\right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left|b\right\rangle$

Problem gelöst. System bespielsweise H-Atom Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren

ABBILDUNG

"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"

$\chi$ hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab

$\chi =\sum \limits _{n,b}{{{c}_{n,b}}\left(t\right)}\left|n\right\rangle \left|b\right\rangle$

Spannt den ganzen Raum auf

$\left|n\right\rangle$, $\left|b\right\rangle$ abstrakte Vielteilchenzustände

wollen Systemgröße beobachten

Observable des Systems O_s wirkt nicht auf

$\left|b\right\rangle$, nur auf

$\left|n\right\rangle$'s:

${\begin{aligned}&\left\langle \chi |{{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}n,n'\\b,b'\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle n'\right|\left\langle b'\right|{{O}_{S}}\underbrace {\left|b\right\rangle } _{{\delta }_{b,b'}}\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{n,n'}{\underbrace {\sum \limits _{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}} _{\begin{smallmatrix}{{\rho }_{n,n'}}-{\text{Matrix}}\\{\text{hier findet sich Umgebung }}\\{\text{wieder}}\end{smallmatrix}}}\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle \end{aligned}}$

${{\rho }_{n,n'}}$ wird Dichtematrix genannt oder Matrix des statistischen Operators $\rho$ mit den Matrixelementen ${{\rho }_{n,n'}}$

{{#set:Definition=Dichtematrix|Index=Dichtematrix}}

→ führe statistischen Operator{{#set:Fachbegriff=statistischen Operator|Index=statistischen Operator}} ein

Erwartungwert in System mit Umgebung:

$\left\langle \chi \right|{{O}_{S}}\left|\chi \right\rangle =\sum \limits _{n,n'}{\left\langle n\right|\rho \left|n'\right\rangle }\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle$ mit $1=\sum \limits _{n'}{\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|}$

$\left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{S}}\left|n\right\rangle }\equiv {\text{Tr}}\left(\rho {{O}_{S}}\right)$ ist die Mittelungsformel der statistischen Physik.

{{#set:Definition=Mittelwert|Index=Mittelwert}}

statistischer Operator

Frage: Was kann man über $\rho$ herausfinden?

kann 2 Eigenschaften

${{\rho }_{n,n'}}=\sum \limits _{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}$

• hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
• ${\text{Tr}}\left(\rho {{O}_{S}}\right)=1$ denn ${{\sum \limits _{bn}{\left|{{c}_{n,b}}\right|}}^{2}}=1$ ebenso Diagonalelemente $0\leq {{\left|{{c}_{n,b}}\right|}^{2}}\leq 1$ (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)

wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften

${\text{Tr}}\left(\rho \right)=\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad {\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\left({{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha }\right)\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle$

es existiert die Diagonaldarstellung

$\rho ={{w}_{i}}\underbrace {\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|} _{\text{Systemwellenfunktionen}}$

Bemerkungen

Interpreatation

Interpreation von \rho

in Diagonaldarstellung

${\begin{aligned}&\left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\underbrace {\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{s}}\left|n\right\rangle }} _{\begin{smallmatrix}n{\text{ vollst}}{\text{. System im}}\\{\text{Vielteilchenraum des }}\\{\text{Systems}}\end{smallmatrix}}\\&=\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\underbrace {\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}} _{\rho }{{O}_{s}}\left|n\right\rangle }=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|\underbrace {\sum \limits _{n}{\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}} _{1}}{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\underbrace {\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle } _{\begin{smallmatrix}{\text{Erwartungswert einer}}\\{\text{Gr }}\!\!{\ddot {\mathrm {o} }}\!\!{\text{ sse}}{\text{, bei der sich das System }}\\{\text{im Zustand }}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle {\text{ befindet}}\end{smallmatrix}}}\end{aligned}}$

${{w}_{i}}$

werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand

$\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle$ realisiert wird interpretiert.

$\left\langle {{O}_{S}}\right\rangle$ klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.

$\sum \limits _{i}{}$ Mittelung über das besprochene Ensenble

Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit w_i zum Meßergebnis bei.

Zeitabhängigkeit

w_i= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion

$\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle (t)$ vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S

Reine und gemischte Zustände

reiner Zustand $\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt $w_{i0}=1$, alle anderen $w_{i}$'s sind 0 Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus! ${{\rho }_{\text{rein}}}=\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}\right|$

{{#set:Definition=reiner Zustand|Index=reiner Zustand}}

Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man

quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen $w_{i}\neq 0$ z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich ${{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}$

{{#set:Definition=gemischter Zustand|Index=gemischter Zustand}}

Eingenwertgleichung

Lösung der Eigenwergleichung für \rho :

${\begin{aligned}&\rho \left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r\right|\\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\end{aligned}}$

daraus folgt

1. ${{w}_{i}}\leq 1$, ${{\left|\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \right|}^{2}}\leq 1$ somit $\Rightarrow 0\leq r\leq 1$
2. ${\begin{aligned}&\sum \limits _{r}{\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle }=\sum \limits _{r}{r}\\&\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=\sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}\\&\Rightarrow \sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}=1\end{aligned}}$

Eigenwerte von $\rho$ sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.

Beispiel für gemischten Zustand

${{H}_{s}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle$: einfach machen

Photon: mit Polarisation

$\uparrow ,\to$ = 2 Zustände $\left|n=1,2\right\rangle$

$\left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle =a\left(t\right)\left|\to \right\rangle +b\left(t\right)\left|\uparrow \right\rangle$

$\left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle$ wird druch

Zustände $\uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ sind alle Möglich.

reiner Zustand

reiner zustand

${{\rho }_{\text{rein}}}=\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}\right|$

für festes a,b

${\begin{aligned}&{{\rho }_{\text{rein}}}=a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle +{{\left(a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle \right)}^{*}}\\&={{\left|a\right|}^{2}}\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+a{{b}^{*}}\left|\to \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+b{{a}^{*}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \to \right|+{{\left|b\right|}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\end{aligned}}$

mit a,b beliebig ${{\left|a\right|}^{2}}+{{\left|b\right|}^{2}}=1$ z.B

$a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\,{\text{oder}}\ a=1,b=0$... alles reine Zustände

gemischter Zustand

$\rho =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|},\ \quad \left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left|\to \right\rangle ,\quad \left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}={\frac {1}{2}}$

dann ist

$\rho ={\frac {1}{2}}\left(\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\right)$

wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten $\rho$ unterscheiden? Läuft über Spur (Übungsaufgabe)

((LÖSUNG $\rho ^{2}<1$ :gemischt sonst rein))

immer noch nicht bekannt $w_{i}$ 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen

Aufgaben der statistischen Physik

3wichtige

• dynamische Gelichungen für $\rho _{n,n'}(t)$ um den statistischen Operator $\rho (t)$ zu bestimmen $\left\langle {{O}_{s}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho \left(t\right){{O}_{s}}\right)$ bei externen Feldern
• Anfangsbedinugungen $\rho _{n,n'}(t=0)$ festlegen vor Einschalten externer Felder
• Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in $\rho _{n,n'}(t=0)$ einzubauen (z.B. Temperatur)

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