Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=3}}
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in ![{\displaystyle \nabla \cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {\rho \left({\bar {r}}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20bf570509b05511aea41f9e2200ca7f463e56b)
liefert:
{{#set:Gleichung=Poission-Gleichung|Index=Poission-Gleichung}}
Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:
Entweder:
1)
hinreichend rasch für
oder
2)
sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
Lösung zu 1):
![{\displaystyle \Phi ({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e61350b655f7dd676c618173bbfaddd6b2ba30)
für hinreichend rasch abfallendes
![{\displaystyle \rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c95417108e474b2148b289dc2e65d85e3b5b95)
Einsetzen in Poisson- Gleichung:
,
falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
Man definiere für ein festes
, dass
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {s}}:={\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&{{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b5ac7b8fa1b1338d12aeaa780e930688cb3d04)
Also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Delta }_{r}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}={{\nabla }_{S}}\left({{\nabla }_{S}}{\frac {1}{s}}\right)=-{{\nabla }_{S}}{\frac {1}{{s}^{2}}}{\frac {\bar {s}}{s}}=-{\frac {1}{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}{\bar {s}}-{\bar {s}}{{\nabla }_{S}}{\frac {1}{{s}^{3}}}\\&{{\nabla }_{S}}{\bar {s}}=3\\&\Rightarrow {{\Delta }_{r}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}=-{\frac {1}{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}{\bar {s}}-{\bar {s}}{{\nabla }_{S}}{\frac {1}{{s}^{3}}}=-{\frac {3}{{s}^{3}}}+{\frac {1}{{s}^{3}}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34eeb32cc4778ac282453e19ab20abc8c5f9804c)
Dies ist aber ein Widerspruch zu
Grund ist, dass die Vertauschung von
und ![{\displaystyle \int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a302fa3542f224915e1856257b917a27e76636b)
sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
,
also s=0 (Singularität!!)
Stattdessen für beliebige V:
Nun kann man
mit ![{\displaystyle \int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a302fa3542f224915e1856257b917a27e76636b)
vertauschen.
Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
![{\displaystyle \int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a302fa3542f224915e1856257b917a27e76636b)
nach der Vertauschung stetig ist!:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}^{}{{d}^{3}}r\Delta \Phi ({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\oint \limits _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot {{\nabla }_{r}}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}\\&{{\nabla }_{r}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}=-{\frac {\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{|}^{3}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b000c2b1b649fbed7a27211f26a6aebc0eaeb334)
Somit:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}^{}{{d}^{3}}r\Delta \Phi ({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\oint \limits _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot {{\nabla }_{r}}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\oint \limits _{\partial V}{d{\bar {f}}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{|}^{3}}}}\\&\oint \limits _{\partial V}{d{\bar {f}}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{|}^{3}}}}=\int _{}^{}{d\Omega }\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388af9f6c5d4188608b12071da60b4b2955619ba)
aber:
,
falls
![{\displaystyle {\bar {r}}{\acute {\ }}\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0058f6f0f1b4399721f6f9db3c961cad265973bc)
falls ![{\displaystyle {\bar {r}}{\acute {\ }}\notin V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81728f8aee8953d3cd5fb00849ea2bb36b97b8ce)
Somit:
![{\displaystyle \int _{V}^{}{{d}^{3}}r\Delta \Phi ({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\oint \limits _{\partial V}{d{\bar {f}}\cdot {{\nabla }_{r}}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4274169321bda67fc44bfc1517745e3fce3f6199)
Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
![{\displaystyle {{\Delta }_{r}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}=-4\pi \delta ({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30e236e69cca0fc4fdbe9e4788febfb5c554b1f)
Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist!
Greensche Funktion der Poisson- Gleichung[edit | edit source]
![{\displaystyle \Delta \Phi ({\bar {r}})=-{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a51977fa974709d1e734a91d7acc9d949b9d2a6)
Invertierung
![{\displaystyle \Rightarrow \Phi ({\bar {r}})={\hat {G}}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e881ec045bc9660778ee30f27db4d6c3a0a7130)
Mit dem Greenschen Operator{{#set:Fachbegriff=Greenschen Operator|Index=Greenschen Operator}}
:
Eine Fourier- Transformation von
liefert ![{\displaystyle -{{k}^{2}}{\tilde {\Phi }}=-{\frac {\tilde {\rho }}{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd4d6f5353ba50b054614864ef9d27f67e574e5)
Man kann schreiben:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {\Phi }}={\tilde {\hat {G}}}{\tilde {\rho }}\\&{\tilde {\hat {G}}}:={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5d792debc9c716fd07ca4be2fd7839041d981f)
Die einfache Fourier- Transformierte Form von
,
nur dass der Fourier- transformierte Greens-Operator{{#set:Fachbegriff=Greens-Operator|Index=Greens-Operator}} angegeben werden kann.
Die Rücktransformation löst dann die Poisson-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Poisson-Gleichung|Index=Poisson-Gleichung}}:
![{\displaystyle \Rightarrow \Phi ({\bar {r}})=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\hat {G}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc63051090f37ec75c082dbdf6a4658ea4c1fd16)
Es gilt:
![{\displaystyle {{\Delta }_{r}}{\hat {G}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca64c282195a57e8629047dc5443c64b54e9ca0)
Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
![{\displaystyle {\bar {r}}{\acute {\ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561b988d16a9f4a641b8a830b6cce3b9fdb6d1df)
Insbesondere bei speziellen Randbedingungen{{#set:Fachbegriff=Randbedingungen|Index=Randbedingungen}}
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\{\bar {r}}\to \infty \\\end{matrix}}\Phi ({\bar {r}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3005dd7d163c2bbb415a2dd8d855de73e673ff2)
ist die Greensfunktion{{#set:Fachbegriff=Greensfunktion|Index=Greensfunktion}} dann:
![{\displaystyle G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f276d9893720e1df1b147a48969cf0e18f5d35b)
Denn
![{\displaystyle {{\Delta }_{r}}G=\Delta {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b421a1303584d8300d0242015436061b9f692112)
Für eine beliebige Ladungsverteilung{{#set:Fachbegriff=Ladungsverteilung|Index=Ladungsverteilung}}
ist also die Lösung der Poissongleichung
![{\displaystyle \Phi ({\bar {r}})=\int _{-\infty }^{\infty }{}{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}=\int _{-\infty }^{\infty }{}G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fdf6fa32061f9e4655162901c0851b54d12db3)
wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\{\bar {r}}\to \infty \\\end{matrix}}\Phi ({\bar {r}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3005dd7d163c2bbb415a2dd8d855de73e673ff2)
gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.