Maxwell- Gleichungen im Vakuum
65px|Kein GFDL | Der Artikel Maxwell- Gleichungen im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
lauten: 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
2) die Gleichungen sollen linear in
sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen! Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!)
Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!!
Somit sind
Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
3) Wir fordern TCP- Invarianz:
Also bleibt:
4) Ladungserhaltung:
Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung! Somit (vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte
5) Lorentzkraft
soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. Suche also eine Lagrange- Funktion
so dass die Lagrangegleichung
die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
ergibt!
Lösung:
Tatsächlich gilt
= kanonischer Impuls
Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
zu sehen!
Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
und:
Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum
mit den neuen Feldgrößen
dielektrische Verschiebung und
Magnetfeld
ergibt sich:
Dabei sind
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
beschreiben und
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
durch gegebene Ladungen und Ströme
Im Gauß- System:
Mit
im Vakuum!