Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Magnetische Induktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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__SHOWFACTBOX__
Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:
![{\displaystyle {\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c131e03d8ee760ef42f37de9d458778755157d)
Die sogenannte Lorentz-Kraft{{#set:Fachbegriff=Lorentz-Kraft|Index=Lorentz-Kraft}}!
ist die magnetische Induktion{{#set:Fachbegriff=magnetische Induktion|Index=magnetische Induktion}} am Ort
, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte{{#set:Fachbegriff=Stromdichte|Index=Stromdichte}}
.
Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:
{{#set:Gleichung=Ampersches Gesetz|Index=Ampersches Gesetz}}
Dies läuft völlig analog zur Coulomb-Wechselwirkung{{#set:Fachbegriff=Coulomb-Wechselwirkung|Index=Coulomb-Wechselwirkung}} in der Elektrostatik:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {F}}=q{\bar {E}}({\bar {r}})\\&{\bar {E}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54ac866c3c98cdbc601fff194fddd0a1d39bd15)
Die Einheiten im SI- System lauten:
![{\displaystyle \left[B\right]={\frac {1Ns}{Cm}}={\frac {1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}}\cdot {\frac {s}{{m}^{2}}}=1V{\frac {s}{{m}^{2}}}=1T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a207a53784714c8ec70cdc24ec4c8c3871a9a3)
Mit diesen Einheiten ist dann
festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar!!
Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:
Im Gauß System:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {q}{c}}{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca3ed75e8426e8f1cfd02ec337302b4f3b7b63c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {1}{c}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}\\&\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd68ac67f0d26a73539c03b23525c9535b16be6)
Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:[edit | edit source]
Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:
Der Strom durch L´:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {v}}{\acute {\ }}={\frac {d}{dt}}\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&{\frac {d}{dt}}\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}=I{\acute {\ }}\\&\Rightarrow {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f8b80b84d374d52202df7eb12dba48b6865a75)
Somit folgt das Biot-Savartsche Gesetz{{#set:Fachbegriff=Biot-Savartsche Gesetz|Index=Biot-Savartsche Gesetz}} für unendlich lange Leiter L´:
Die magnetische Induktion ist gerade:
{{#set:Gleichung=Biot-Savart-Gesetz|Index=Biot-Savart-Gesetz}}
Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:
![{\displaystyle d{\bar {F}}=\rho {\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r={\bar {j}}\times {\bar {B}}{{d}^{3}}r=Id{\bar {r}}\times {\bar {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b3bda8173856cf5c5f240b70e616c04f025209)
Also:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}II{\acute {\ }}\int _{L}^{}{}d{\bar {r}}\times \int _{L{\acute {\ }}}^{}{}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2c9e6311c8ed272248721211b887502db407f1)
Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d{\bar {r}}\times \left(d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times \left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\right)=\left(d{\bar {r}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\right)d{\bar {r}}{\acute {\ }}-\left(d{\bar {r}}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\\&und\\&\int _{L}^{}{}d{\bar {r}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}=-\left.{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbcd64d37c1af5c0091205d67a160a6dae7be1e)
(Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:
![{\displaystyle {\bar {F}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}II{\acute {\ }}\int _{L}^{}{}\int _{L{\acute {\ }}}^{}{}\left(d{\bar {r}}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abb18e693339ba107b77713c010d50799aa144d)
für parallele Ströme
folgt Anziehung
für antiparallele Ströme
dagegen Abstoßung
Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {r}}\leftrightarrow {\bar {r}}{\acute {\ }}\\&d{\bar {r}}\leftrightarrow d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&I\leftrightarrow I{\acute {\ }}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cd332939816400e7bbec4bc61d4d212193f88b)
Somit:
![{\displaystyle {\bar {F}}\leftrightarrow -{\bar {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e8ad60814489de9359c684641feef797981544)
(actio gleich reactio)