Klein Gordon und Relativität

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Einstein (SRT):

• gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
• Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

Datei:Koordinatensysteme.svg Geschwindigkeit v parallel zu x Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left|r\right|=ct$ zurück. ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad$ (in S)    (1.9) Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $\left({\underline {r}}',{t}'\right)$ in S‘, für die gilt ${{{r}'}^{2}}-{{\underbrace {c} _{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad$ (in S‘)    (1.10)

Die Transformation der Koordinaten erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{#set:Fachbegriff=Lorentz-Transformation|Index=Lorentz-Transformation}}

$\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)$

(1.11)

mit

$\beta ={\frac {v}{c}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}$

Daraus folgt (mit v → -v) (CHECK)

$\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&\beta \\\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

${\begin{aligned}&{\underline {{{{x}'}^{2}}-{{c}^{2}}{{{t}'}^{2}}}}=\left({\begin{matrix}{{x}'}&c{t}'\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)\\&={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1-{{\beta }^{2}}&0\\0&-1+{{\beta }^{2}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)={\underline {{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}}\end{aligned}}$

• Unter Lorentz-Transformation bleibt ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}$ invariant.
• Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges${\underline {r}}$.
• Insbesondere bleiben die Lichtabstände{{#set:Fachbegriff=Lichtabstände|Index=Lichtabstände}} ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0$ invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

Wellengleichung{{#set:Fachbegriff=Wellengleichung|Index=Wellengleichung}} für skalares klassisches Feld $\varphi \left({\underline {x}},t\right)$

in S:$\underbrace {\left({{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}}\right)} _{\square }\phi \left({\underline {x}},t\right)=0$ in S':$\quad \quad \underbrace {\left({{c}^{-2}}\partial _{{t}'}^{2}-{{{\nabla }'}^{2}}\right)} _{{\square }'}\phi \left({\underline {x}}',{t}'\right)=0$

(1.13)

mit ${{\nabla }^{2}}=\partial _{{x}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{x}_{2}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{x}'}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{{x}'}_{2}}^{^{2}}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $\square$in ${\square }'$übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

Hierzu

${\begin{aligned}&{{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left({{x}'}\right){{\partial }_{{x}'}}+{{\partial }_{x}}\left({{t}'}\right){{\partial }_{{t}'}}=\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\\&\partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\\&\partial _{t}^{2}\,{\text{analog}}\\\end{aligned}}$

AUFGABE

• d’Alembert-Operator $\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ist invariant unter LT
• Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellen{{#set:Fachbegriff=ebene Wellen|Index=ebene Wellen}} (und deren Überlagerungen):

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)={{e}^{\mp {\frac {\mathfrak {i}}{\hbar }}{\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}}\,t+i{\underline {p}}.{\underline {x}}}}$

(1.14)

mit

${\begin{aligned}&-:\,{\text{ negative Energie +}}{\sqrt {}}\\&+:\,{\text{ postivive Energie -}}{\sqrt {}}\\\end{aligned}}$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

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