Kanonische Transformationen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Kanonische Transformationen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist (Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).

Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:

$\overline{q}=(q_1,...,q_f)\to \overline{Q}=(Q_1,...,Q_f)$

Dabei gilt dann:

$\overline{L}(\overline{Q},\dot{\overline{Q}},t)=L(\overline{q}(\overline{Q},t),\dot{\overline{q}}(\overline{Q},\dot{\overline{Q}},t),t)$

Nun kann man sich fragen, unter welchen Transformationen

$(\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})$

die Hamiltonfunktionen forminvariant sind, also:

mit

$\begin{array}{ll}& {\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\\ & {\dot{q}}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k}\\ \end{array}$

soll auch

$\begin{array}{ll}& {\dot{P}}_k=-\frac{\partial \overline{H}}{\partial Q_k}\\ & {\dot{Q}}_k=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_k}\\ \end{array}$

gelten!

Nebenbemerkungen:

• die Klasse der erlaubten Transformationen muss größer sein als beim Lagrangeformalismus, da jetzt die pk neben den qk als UNABHÄNGIGE Variablen betrachtet werden, die ebenfalls und vor allem völlig unabhängig transformiert werden können.
• Die neuen Qk und Pk haben unter Umständen gar nicht mehr den Charakter von Orts- und Impulsvariablen.

In den Lagrangegleichungen der 2. Art heißt qj zyklisch, wenn:

$\frac{\partial L}{\partial q_j}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}=\frac{d}{dt}{p}_j=0\Rightarrow p_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}=const$

Allerdings ist damit keine Aussage über

${\dot{q}}_j$

gemacht. Diese muss natürlich weiter als Variable behandelt werden.

Hamilton-Gleichungen:

In

$H(q_1,...,q_f,p_1,...,p_f,t)$

heißt

$q_j$

zyklisch, wenn

$\frac{\partial H}{\partial q_j}=0\Rightarrow -\frac{\partial L}{\partial q_j}=\frac{d}{dt}{p}_j=0\Rightarrow p_j:={\alpha }_j=const$

Das bedeutet nun, dass

$q_j$

in H gar nicht auftritt.

$p_j$

kann dagegen durch die Bewegungskonstante

${\alpha }_j$

ersetzt werden:

$H(q_1,...,q_{j-1},q_{j+1},...,q_f,p_1,...,p_{j-1},{\alpha }_j,p_{j+1},...,p_f,t)$

Damit jedoch hat das kanonische System nur noch f-1 Freiheitsgrade.

Idee ist es nun, die Hamiltongleichungen zu lösen, indem man Schritt für Schritt zyklische Variablen durch geeignete Trafos der

$(\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})$

einführt, bis alle 

$\overline{Q}$

zyklisch sind:

$H=H(P_1,...,P_f,t)$ mit $P_k={\alpha }_k=const.$

$\begin{array}{ll}& {\dot{Q}}_k=\frac{\partial H}{\partial P_k}=:v_k(t)\\ & \Rightarrow Q_k=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{v}_k(t\stackrel{´}{})dt\stackrel{´}{}+{\beta }_k\\ \end{array}$

Insgesamt finden sich 2f Konstanten der Bewegung:

${\alpha }_k,{\beta }_k$

k=1,...,f

Als Beispiel (Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:

$\begin{array}{ll}& T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)\\ & V=V(r)\\ & L=L(r,\dot{r},\varphi ,\dot{\varphi },)=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)-V\\ \end{array}$

$\varphi$

ist zyklisch:

$\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2\dot{\varphi }=l=cons$

Die Hamiltonschen Gleichungen lauten:

$\begin{array}{ll}& {\dot{p}}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\\ & \frac{\partial H}{\partial p_k}={\dot{q}}_{k}k=1,...,f\\ & p_r=\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}\Rightarrow \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_r}=\frac{p_r}{m}\\ & p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=m{r}^2\dot{\varphi }\Rightarrow \dot{\varphi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi }}=\frac{p_{\varphi }}{m{r}^2}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& H=p_r\dot{r}+p_{\varphi }\dot{\varphi }-L=m{\dot{r}}^2+m{r}^2{\dot{\varphi }}^2-L=\frac{m}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\varphi }}^2)+V(r)\\ & H=\frac{{p_r}^2}{2m}+\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{r}^2}+V(r)\\ \end{array}$

$\frac{\partial H}{\partial \varphi }=0\Rightarrow p_{\varphi }={\alpha }_{\varphi }=l=cons$

Somit läßt sich die Hamiltonfunktion von f=2 auf f=1 Freiheitsgrade reduzieren:

$H=\frac{{p_r}^2}{2m}+\frac{l^2}{2m{r}^2}+V(r)$

Definition der kanonischen Transformationen

Kanonische Transformationen sind diffeomorphe Transformationen (umkehrbar eindeutig und zweimal stetig diffbar):

$(\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})$

$H(\overline{q},\overline{p},t)\to \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)$,

die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.

Bedingung für eine kanonische Transformation:

Die Hamiltonschen Gleichungen folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip:

$\begin{array}{ll}& \delta W=0\\ & \delta W=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtL=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{p}_k{\dot{q}}_k(t)-H(\overline{q},\overline{p},t)\}\\ \end{array}$

(Legendre Trafo)

Ganz entsprechend muss für das System

$(\overline{Q},\overline{P},\overline{H})$

gelten:

$\begin{array}{ll}& \delta W=0\\ & \delta W=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtL=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)\}=0\\ \end{array}$

Man kann sich leicht überzeugen, dass diese beiden Forderungen äquivalent sind, falls:

$\sum _{k=1}^f{p}_k{\dot{q}}_k(t)-H(\overline{q},\overline{p},t)=\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)+\frac{d}{dt}{M}_1$

Mit einer beliebigen Funktion

$M_1(\overline{q},\overline{Q},t)$,

die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.

M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion

$M(\overline{q},t)$

aus dem Kapitel Eichtrafo der Lagrangefunktion (2.3)

Beweis:

$\frac{d}{dt}{M}_1=\sum _{k=1}^f(\frac{\partial M_1}{\partial q_k}{\dot{q}}_k(t)+\frac{\partial M_1}{\partial Q_k}{\dot{Q}}_k(t))+\frac{\partial M_1}{\partial t}$

Es folgt dann aus

$\sum _{k=1}^f{p}_k{\dot{q}}_k(t)-H(\overline{q},\overline{p},t)=\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)+\frac{d}{dt}{M}_1$,

dass

$\sum _{k=1}^f(p_k-\frac{\partial M_1}{\partial q_k}){\dot{q}}_k(t)=\sum _{k=1}^f(P_k+\frac{\partial M_1}{\partial Q_k}){\dot{Q}}_k(t)+H(\overline{q},\overline{p},t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)+\frac{\partial M_1}{\partial t}$

Da aber

$\overline{q}$ und $\overline{Q}$

unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls

$\begin{array}{ll}& p_k=\frac{\partial M_1}{\partial q_k}\\ & P_k=-\frac{\partial M_1}{\partial Q_k}\\ & \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)=H(\overline{q},\overline{p},t)+\frac{\partial M_1}{\partial t}\\ \end{array}$

Das bedeutet jedoch, dass die kanonische Transformation durch

$M_1(\overline{q},\overline{Q},t)$

eindeutig bestimmt ist:

$\begin{array}{ll}& p_k=\frac{\partial M_1(\overline{q},\overline{Q},t)}{\partial q_k}\Rightarrow Q_j(\overline{q},\overline{p},t)\\ & Bedingung:\det \left(\frac{{\partial }^2{M}_1}{\partial q_k\partial Q_j}\right)\ne 0\\ & P_k=-\frac{\partial M_1(\overline{q},\overline{Q},t)}{\partial Q_k}=-\frac{\partial M_1(\overline{q},\overline{Q}(\overline{q},\overline{p},t),t)}{\partial Q_k}=P_k(\overline{q},\overline{p},t)\\ \end{array}$

Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. (Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).

Für die gesamte Umkehrtrafo gilt:

$P_j=-\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}in{p}_k=\frac{\partial M_1}{\partial q_k}$ liefert $\begin{array}{ll}& q_k(\overline{Q},\overline{P},t)aus{P}_j=-\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}\\ & und\\ & p_j(\overline{Q},\overline{P},t)aus{p}_k=\frac{\partial M_1}{\partial q_k}\\ \end{array}$

Äquivalenzrelation:

$\delta W=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtL=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{p}_k{\dot{q}}_k(t)-H(\overline{q},\overline{p},t)\}=0$

(Legendre Trafo)

$\iff \delta W=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtL=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)\}=0$

Beweis:

$\begin{array}{ll}& \delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{p}_k{\dot{q}}_k(t)-H(\overline{Q},\overline{P},t)\}=0\\ & \iff \delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)+\frac{d}{dt}{M}_1\}=0\\ & =\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)\}+\delta \{M_1(q(t_2),Q(t_2),t_2)-M_1(q(t_1),Q(t_1),t_1)\}\\ \end{array}$

Dabei gelten die Relationen:

$\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f{P}_k{\dot{Q}}_k(t)-\overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)\}=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{\sum _{k=1}^f\delta P_k{\dot{Q}}_k(t)+P_k\delta {\dot{Q}}_k(t)-\frac{\partial \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)}{\partial Q_k}\delta Q_k-\frac{\partial \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)}{\partial P_k}\delta P_k\}$

$\begin{array}{ll}& \delta \{M_1(q(t_2),Q(t_2),t_2)-M_1(q(t_1),Q(t_1),t_1)\}=\sum _k({\frac{\partial M_1}{\partial q_k}\delta q_k|}_{t_1}^{t_2}+{\frac{\partial M_1}{\partial Q_k}\delta Q_k|}_{t_1}^{t_2})\\ & mit{\frac{\partial M_1}{\partial q_k}\delta q_k|}_{t_1}^{t_2}=0und{\frac{\partial M_1}{\partial Q_k}\delta Q_k|}_{t_1}^{t_2}\ne 0\\ \end{array}$

Außerdem:

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt{P}_k\delta {\dot{Q}}_k(t)={P_k\delta Q_k|}_{t_1}^{t_2}-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt{\dot{P}}_k\delta Q_k$

Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich:

$\delta \overline{q}(t_1)=\delta \overline{q}(t_2)=0$.

Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen  für 

$Q(\overline{q},\overline{p},t)$

ändern.

Unter Beachtung der obigen relationen gilt nun:

$0=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtL=\sum _{k=1}^f{(P_k+\frac{\partial M_1}{\partial Q_k})\delta Q_k|}_{t_1}^{t_2}+\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\sum _{k=1}^f\{({\dot{Q}}_k(t)-\frac{\partial \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)}{\partial P_k})\delta P_k-({\dot{P}}_k(t)+\frac{\partial \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)}{\partial Q_k})\delta Q_k\}$

Aus den obigen Relationen ist bekannt:

$(P_k+\frac{\partial M_1}{\partial Q_k})=0$

Gleichzeitig sind jedoch Pi und Qi unabhängig und können demnach unabhängig variiert werden. Das bedeutet, dass

$\delta P_{k}und\delta Q_k$

unabhängig sind.

Somit muss jeweils für sich gelten:

$\begin{array}{ll}& 0=({\dot{Q}}_k(t)-\frac{\partial \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)}{\partial P_k})\\ & 0=({\dot{P}}_k(t)+\frac{\partial \overline{H}(\overline{Q},\overline{P},t)}{\partial Q_k})\\ \end{array}$

und es sind die Hamiltonschen Gleichungen äquivalent in den neuen Koordinaten, was zu beweisen war.

Äquivalente Formen der erzeugenden Funktion

Eine Legendre- Transformation von M1 liefert:

Aus dem vorigen Beweis ist bekannt:

$\sum _{k=1}^f(p_k{\dot{q}}_k-P_k{\dot{Q}}_k)-(H-\overline{H})=\frac{d}{dt}{M}_1$

Außerdem gilt:

$\frac{d}{dt}{M}_1=\frac{d}{dt}(M_2(\overline{q}(t),\overline{P}(t),t)-\sum _k{P}_k{Q}_k)=\sum _{k=1}^f(\frac{\partial M_2}{\partial q_k}{\dot{q}}_k+\frac{\partial M_2}{\partial P_k}{\dot{P}}_k-{\dot{P}}_k{Q}_k-P_k{\dot{Q}}_k)+\frac{\partial M_2}{\partial t}$

So dass folgt:

$\sum _{k=1}^f(p_k-\frac{\partial M_2}{\partial q_k}){\dot{q}}_k+(Q_k-\frac{\partial M_2}{\partial P_k}){\dot{P}}_k+(P_k-P_k){\dot{Q}}_k=(H-\overline{H})+\frac{\partial M_2}{\partial t}$

Da dies für beliebige

${\dot{q}}_k,{\dot{P}}_k$

gilt, kann die Summe nur allgemein identisch sein, wenn gilt:

$\begin{array}{ll}& (p_k-\frac{\partial M_2}{\partial q_k})=0\Rightarrow p_k=\frac{\partial M_2}{\partial q_k}\\ & Q_k=\frac{\partial M_2}{\partial P_k}\\ & \overline{H}=H+\frac{\partial M_2}{\partial t}\\ \end{array}$

Analog kann gezeigt werden, dass für

$M_3(\overline{p},\overline{Q},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{k=1}^f\frac{\partial M_1}{\partial q_k}{q}_k$

Hier folgt (Übungsaufgabe):

$\begin{array}{ll}& (q_k+\frac{\partial M_3}{\partial p_k})=0\Rightarrow q_k=-\frac{\partial M_3}{\partial p_k}\\ & P_k=-\frac{\partial M_2}{\partial Q_k}\\ \end{array}$ oder $M_4(\overline{p},\overline{P},t)=M_1(\overline{q},\overline{Q},t)-\sum _{k=1}^f(\frac{\partial M_1}{\partial q_k}{q}_k+\frac{\partial M_1}{\partial Q_k}{Q}_k)$

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow (q_k+\frac{\partial M_4}{\partial p_k})=0\Rightarrow q_k=-\frac{\partial M_4}{\partial p_k}\\ & Q_k=-\frac{\partial M_4}{\partial P_k}\\ \end{array}$

Beispiele für kanonische Transformationen

Erzeugende sei:

$\begin{array}{ll}& M_1(\overline{q},\overline{Q},t)=\sum _{j=1}^f{q}_j{Q}_j\\ & \Rightarrow p_j=\frac{\partial M_1}{\partial q_j}=-Q_j\\ & P_j=-\frac{\partial M_1}{\partial Q_j}=q_j\\ & (\overline{q},\overline{p})\to (\overline{P},-\overline{Q})\\ \end{array}$

Bei dieser Trafo werden also Ort und Impuls vertauscht.

Beispiel 2:

$\begin{array}{ll}& M_2(\overline{q},\overline{P},t)=\sum _{j=1}^f{q}_j{P}_j\\ & \Rightarrow p_j=\frac{\partial M_2}{\partial q_j}=P_j\\ & Q_j=\frac{\partial M_2}{\partial P_j}=q_j\\ & (\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})\\ \end{array}$

Dies ist also die identische Transformation

That’s not just logic. That’s really senislbe.