Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen
![{\displaystyle {{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c032e284f78583150d33fa33e125a8d867ca7928)
gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).
Somit können die Punktkoordinaten
![{\displaystyle \left\{{{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0cc7f6ef634dbc79a447dc5b9bb48d6d51b82d)
nicht unabhängig voneinander variiert werden.
Ziel:
- Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:
![{\displaystyle \left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de3ed0780e1c84b39937717678cca86f37a53e8)
- Anschließend können Bewegungsgleichungen für die
aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.
Wesentlich: Die
![{\displaystyle \left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de3ed0780e1c84b39937717678cca86f37a53e8)
sind FREI variierbar! Wegen
![{\displaystyle {{\vec {r}}_{i}}={{\vec {r}}_{i}}\left({{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right)\quad f=1,2,...3N-\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98c3cfb2a1784d8cdf60a59fa5a6973dad9f64b)
sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.
Virtuelle Verrückungen
müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:
![{\displaystyle \delta {{\bar {r}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f70b1034d5093c19a5bb38c210ce49d055173f1)
wird ausgedrückt durch
![{\displaystyle \delta {{q}_{1}},...,\delta qf}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2216403a1f6e6a9df510d3f16daa93ec27004fc0)
Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:
![{\displaystyle {{\vec {v}}_{i}}={\frac {d}{dt}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba456c25a9ee0bca642ac48497e8c7fca75a21d)
Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b5efaaf5b5dfaf7e903f72a43f9e39eaec0662)
Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit{{#set:Fachbegriff=Virtuelle Arbeit|Index=Virtuelle Arbeit}} der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:
![{\displaystyle \sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{\left\{\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}\right\}\delta q_{j}^{}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a0e6c5dc5769f10cfb67af1ddd608f218dd948)
Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:
![{\displaystyle {{Q}_{j}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a3f4cd1e2d97cdf341de44eff0f1072376ec81)
Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:
![{\displaystyle {{\vec {X}}_{i}}=-{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd3506b541c99c8372dfe5cb23d255d1a6deb3d)
So folgt:
![{\displaystyle -{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}=-\sum \limits _{i}^{}{{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}}){\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}={{Q}_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85af62ce5a3a706428bdc678c1a882ba6f62739)
Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!