Generalisierte Koordinaten

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

$\left\{{{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t)\right\}$

nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

• Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$
• Anschließend können Bewegungsgleichungen für die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die

$\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$

sind FREI variierbar! Wegen

${{\vec {r}}_{i}}={{\vec {r}}_{i}}\left({{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right)\quad f=1,2,...3N-\nu$

sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene: ${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$ Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem ${\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}},{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$ Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung: ${\bar {r}}={{\bar {r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}}+{{q}_{2}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$ Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen: $\left\{{{q}_{1}},{{q}_{2}}\right\},f=2$

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R: ${\begin{aligned}&{\bar {r}}=R(\cos \phi {{\bar {e}}_{1}}+\sin \phi {{\bar {e}}_{2}})\\&q=\phi \\&f=1\\\end{aligned}}$

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

$\delta {{\bar {r}}_{i}}$

wird ausgedrückt durch

$\delta {{q}_{1}},...,\delta qf$

Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:

${{\vec {v}}_{i}}={\frac {d}{dt}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}$

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit{{#set:Fachbegriff=Virtuelle Arbeit|Index=Virtuelle Arbeit}} der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

$\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{\left\{\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}\right\}\delta q_{j}^{}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{}$

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

${{Q}_{j}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}$

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

${{\vec {X}}_{i}}=-{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})$

So folgt:

$-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}=-\sum \limits _{i}^{}{{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}}){\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}={{Q}_{j}}$

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!