Elektrische Multipolentwicklung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektrische Multipolentwicklung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen $\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})$ in der Nähe des Ursprungs ${\bar {r}}{\acute {\ }}=0$, so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von

$\Phi ({\bar {r}})=\int _{-\infty }^{\infty }{}{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}$

für $r\to \infty$ machen: Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für $r>>r{\acute {\ }}$:

$G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {{\left(-1\right)}^{l}}{l!}}{{\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {{\nabla }_{r}}\right)}^{l}}G({\bar {r}})$

Also

$\Phi ({\bar {r}})=\int _{-\infty }^{\infty }{}G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {{\left(-1\right)}^{l}}{l!}}\int _{}^{}{d_{^{}}^{3}r{\acute {\ }}}{{\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {{\nabla }_{r}}\right)}^{l}}G({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})$

explizit für unsere Situation:

$G({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{|{\bar {r}}|}}$

${\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}={{\left({{r}^{2}}-2rr{\acute {\ }}\cos \vartheta +r{{\acute {\ }}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{r}}{{\left(1-2{\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\cos \vartheta +{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}$

Wobei $\vartheta$ den Winkel zwischen ${\bar {r}}$ und ${\bar {r}}{\acute {\ }}$ bezeichnet. Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für $r{\acute {\ }}<r$ und $\left|\cos \vartheta \right|=\left|\xi \right|<1$ konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen (Legendre-Polynome{{#set:Fachbegriff=Legendre-Polynome|Index=Legendre-Polynome}}):

${{P}_{l}}(\xi )$

${{\left(1-2{\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\xi +{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )$

Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit ${{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{l}}$ in jeweils l-ter Ordnung die Funktion

${{\left(1-2{\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\xi +{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}$

zu ergeben, die wiederum das r- Fache von

${\frac {1}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}={\frac {1}{r}}{{\left(1-2{\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\cos \vartheta +{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}$ ist.

Also:

${{P}_{l}}(\xi )={\frac {1}{l!}}\left({\frac {{\partial }^{l}}{\partial {{t}^{l}}}}{{\left(1-2t\xi +{{t}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right)$

Insbesondere folgt damit:

${{P}_{l}}(\xi )={\frac {1}{l!}}\left({\frac {{\partial }^{l}}{\partial {{t}^{l}}}}{{\left(1-2t\xi +{{t}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right)$

und speziell:

${\begin{aligned}&{{P}_{0}}(\xi )=1\\&{{P}_{1}}(\xi )=\xi =\cos \vartheta \\&{{P}_{2}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(3{{\xi }^{2}}-1\right)=={\frac {1}{4}}\left(3{{\cos }^{2}}\vartheta +1\right)\\\end{aligned}}$

Also:

$\Phi ({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{r}}\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{{Q}_{l}}{{r}^{-l-1}}$

Mit

${{Q}_{l}}=\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}r{{\acute {\ }}^{l}}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){{P}_{l}}(\cos \vartheta )$

als 2^l- Pol Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2^l- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!!

Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell! Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für

• Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
• Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
• Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...

$l=0$

${{\Phi }^{(0)}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{Q}_{0}}{r}}$

${{Q}_{0}}=\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})$

sogenannter Monopol{{#set:Fachbegriff=Monopol|Index=Monopol}} (die Gesamtladung). Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

l=1:

${{\Phi }^{(1)}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{\bar {p}}\cdot {\bar {r}}}{{r}^{3}}}$

${{Q}_{1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})r{\acute {\ }}\cos \vartheta ={\frac {{\bar {p}}\cdot {\bar {r}}}{r}}$

Mit dem Dipolmoment{{#set:Fachbegriff=Dipolmoment|Index=Dipolmoment}}

${\bar {p}}:=\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){\bar {r}}{\acute {\ }}$

Das Dipolpotenzial fällt also ${\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{2}}}$ ab. Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (${{Q}_{0}}=0$).

{{Beispiel:Beispiel: 2 Punktladungen q, -q bei${{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}}$:

${\begin{aligned}&\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})=q\left[\delta \left({\bar {r}}{\acute {\ }}-{{\bar {r}}_{1}}\right)-\delta \left({\bar {r}}{\acute {\ }}-{{\bar {r}}_{2}}\right)\right]\\&{{Q}_{0}}=0\\&{\bar {p}}=q\left({{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}}\right)=q\cdot {\bar {a}}\\\end{aligned}}$

Feld des Dipolpotenzials:

${{E}_{i}}=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}{\frac {{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{r}^{3}}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left[{\frac {3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}}-{{\delta }_{ik}}{\frac {{p}_{k}}{{r}^{3}}}\right]$

$\Rightarrow E({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{{r}^{5}}}\left[3\left({\bar {p}}\cdot {\bar {r}}\right){\bar {r}}-{{r}^{2}}{\bar {p}}\right]$

Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

$\Rightarrow E({\bar {r}}){\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{3}}}$}}

l=2:

${{\Phi }^{(2)}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{Q}_{2}}{{r}^{3}}}$

${\begin{aligned}&{{Q}_{2}}={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})r{{\acute {\ }}^{2}}\left(3{{\cos }^{2}}\vartheta -1\right)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\left(3{\frac {{\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {\bar {r}}}{r}}{\frac {{\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {\bar {r}}}{r}}-{\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}\right)\\&{\frac {{\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {\bar {r}}}{r}}{\frac {{\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {\bar {r}}}{r}}={\frac {{{x}_{k}}{\acute {\ }}{{x}_{k}}{{x}_{l}}{\acute {\ }}{{x}_{l}}}{{r}^{2}}}\\&\Rightarrow {{Q}_{2}}={\frac {1}{2{{r}^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\left(3{{x}_{k}}{\acute {\ }}{{x}_{l}}{\acute {\ }}-{\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}}\right)\\\end{aligned}}$

Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment{{#set:Fachbegriff=Quadrupolmoment|Index=Quadrupolmoment}}:

${\begin{aligned}&{{Q}_{2}}={\frac {1}{2{{r}^{2}}}}{{Q}_{kl}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\left(3{{x}_{k}}{\acute {\ }}{{x}_{l}}{\acute {\ }}-{\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}}\right)={{Q}_{kl}}\\\end{aligned}}$

${{Q}_{kl}}$

ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:

$\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{Q}_{ii}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{}\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\left(3{{x}_{i}}{\acute {\ }}{{x}_{i}}{\acute {\ }}-{\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}{{\delta }_{ii}}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})\left(3{\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}-3{\bar {r}}{{\acute {\ }}^{2}}\right)=0$

Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:

${\begin{aligned}&{{Q}_{kl}}=0f{\ddot {u}}r\quad k\neq l\\&{{Q}_{11}}+{{Q}_{22}}+{{Q}_{33}}=0\\\end{aligned}}$

Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit!

Für das Potenzial ergibt sich:

${{\Phi }^{(2)}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{2{{r}^{5}}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {\bar {Q}}}\cdot {\bar {r}}}{2{{r}^{5}}}}{\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{3}}}$

Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:

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