Eichtransformation der Lagrangefunktion

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichtransformation der Lagrangefunktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion

Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:

$\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=\left({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\right)$

e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:

$m{\frac {{{d}^{2}}^{}}{d{{t}^{2}}}}\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=m{\ddot {\bar {q}}}=e{\bar {E}}({\bar {q}},t)+e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}({\bar {q}},t)$

Die Lorentzkraft{{#set:Fachbegriff=Lorentzkraft|Index=Lorentzkraft}} ist typischerweise nicht konservativ

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {q}},t)=-\nabla \Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)\\&{\bar {B}}({\bar {q}},t)=\nabla \times {\bar {A}}({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Dabei ist $\Phi$ Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

Ziel: Suche eine Lagrangefunktion $L(q,{\dot {q}},t)=T-V$ in der Art, dass ${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Die Bewegungsgleichung

$m{\frac {{{d}^{2}}^{}}{d{{t}^{2}}}}\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=m{\ddot {\bar {q}}}=e{\bar {E}}({\bar {q}},t)+e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}({\bar {q}},t)$

ergeben.

Ansatz:

$L(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)-\Phi ({\bar {q}},t)\right)$

Probe:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}$

Weiter:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=e\left[{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right]$

Somit:

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)-e\left[{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right]\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right)+e\left[-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right]\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[e{\dot {\bar {q}}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]}_{k}}\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}\right]}_{k}}\\\end{aligned}}$

Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

Eichtransformationen

Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion{{#set:Fachbegriff=Eichfunktion|Index=Eichfunktion}}

$\chi$:

${\begin{aligned}&{\bar {A}}({\bar {q}},t)\to {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)={\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\\&\Phi ({\bar {q}},t)\to \Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\chi ({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=-\nabla \left(\Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\chi ({\bar {q}},t)\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\right)={\bar {E}}({\bar {q}},t)\\&{\bar {B}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\nabla \times \left({\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\right)={\bar {B}}({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:

${\begin{aligned}&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)-\Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \chi -\Phi ({\bar {q}},t)+{\dot {\chi }}\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+e\left({\dot {\chi }}+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \chi \right){\acute {\ }}=L+{\frac {d}{dt}}\left(e\chi ({\bar {q}},t)\right)\\\end{aligned}}$

Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

Die Eichtransformation $L(q,{\dot {q}},t)\to L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)$ mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

{{#set:Definition=Eichtransformation|Index=Eichtransformation}}

Allgemein gilt:

Sei $M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ beliebig und

${\begin{aligned}&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+\left({\dot {M}}+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla M\right)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\\\end{aligned}}$

dann erfüllen die

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$

das hamiltonsche Prinzip

Also:

$\delta \int {L{\acute {\ }}dt=0\Leftrightarrow \delta \int {Ldt=0}}$

Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art

$L(q,{\dot {q}},t)\to L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)$ mit $M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$

beliebig.

Beweis:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)\\&={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {dM}{dt}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\\end{aligned}}$ mit ${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)={\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}$

Einzige Nebenbedingung:

$M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$

darf nicht explizit von

${{\dot {q}}_{k}}$

abhängen.

Beispiel: eindimensionaler Oszi $L=T-V={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}$ Beispielhafte Eichfunktion: $M(q):={\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\Rightarrow {\frac {dM}{dt}}=m{{\omega }^{2}}q{\dot {q}}$ $L{\acute {\ }}={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}\left({{q}^{2}}-2q{\dot {q}}\right)$ Die Lagrangegleichungen lauten: ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{\dot {q}}_{}}}}=m{\ddot {q}}+m{{\omega }^{2}}{\dot {q}}\\&{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{q}_{k}}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}{\dot {q}}\\\end{aligned}}$ Es folgt als Bewegungsgleichung ${\ddot {q}}+{{\omega }^{2}}q=0$