Dynamik des statistischen Operators

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Suche eine Gleichung für

$\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}$

${\begin{aligned}&\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{S}}{\text{.GL:}}i\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{h}}{\text{.c}}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|=\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&\Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left(H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|-\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\right)}\\\end{aligned}}$

$i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[H,\rho \right]$ von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators

{{#set:Definition=von Neimanngleichung|Index=von Neimanngleichung}}

${\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left(t\right)$

$\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle$ wirkt nur im System!

oder

$i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\operatorname {Tr} \left(\left[H,\rho \right]{{O}_{s}}\right)$

erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)

Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

• was kann man mit

${{\rho }_{nn}}=,\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle$ (kann ich damit etwas) anfangen?

• in Quantenmechanik: ${{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}}|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand $\left|n\right\rangle$ zu finden, wenn $\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ vorliegt
• in der Statistik: ${\begin{aligned}&{{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)\\&=\sum \limits _{j}{\left\langle j\right|\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|n\right\rangle \left\langle n|j\right\rangle }\\&=\sum \limits _{j}{\underbrace {\left\langle j|j\right\rangle } _{1}\sum \limits _{i}{\left\langle {{\Psi }_{i}}|n\right\rangle }\left\langle n\right|{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }\\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle n|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}|n\right\rangle }=\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle \end{aligned}}$ Der Wert $\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand $\left|n\right\rangle$ bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem $\left|n\right\rangle$).

Interpreation der Dichtematrixelmente

${{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}$

Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand $\left|n\right\rangle$, von z.B

${{H}_{n}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle$ zu finden

${{p}_{nm}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle m\right|\right)={{\rho }_{nm}}$

Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von $\left|n\right\rangle \to \left|m\right\rangle$

Was man braucht um $\left\langle {{O}_{s}}\right\rangle$ zu berechnen sind $\rho _{nm}(t)$, für $m=n$ und auch für $n\neq m$.

Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: aus von Neumanngleichung

$i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[H,\rho \right]\to {{\dot {\rho }}_{nn}},{{\dot {\rho }}_{nm}}=?$

$\left\langle n\right|\ldots \left|n\right\rangle$

also

${\begin{aligned}&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho \right]\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{m}{\left(\left\langle n\right|H\left|m\right\rangle \left\langle m\right|\rho \left|n\right\rangle -\left\langle n\right|\rho \left|m\right\rangle \left\langle m\right|H\left|n\right\rangle \right)}\\&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\sum \limits _{m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}$

Die Bewegungsgleichung für

${{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}$ koppelt an ${{\rho }_{nm}}\,\left(n\neq m\right)$ braucht also Gleichung für ${{\rho }_{nm}}$ analog $\sum \limits _{i}{\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$ einschieben

$i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left(t\right)=\sum \limits _{i}{\left({{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}}\right)}$

man hat ein geschlossens Gleichunssystem für

${{\rho }_{mn}}$ die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem

${{H}_{n}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle$

${\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder sind}}\\{\text{ nicht diagonal}}\end{smallmatrix}}$

Interpretation:

((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))

wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt. Siehe nächstes Kapitel.