Dynamik des 2- Zustands- Systems

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins ${\bar {\mu }}$ im äußeren Magnetfeld ${\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}$ beträgt:

$V=-{\hat {\bar {\mu }}}\cdot {\bar {B}}$ mit ${\hat {\bar {\mu }}}=+g{\frac {e}{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {S}}}=+{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}$ mit g~ 2 und e<0

Somit:

${\hat {V}}=-{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}\cdot {\bar {B}}=-{\frac {e\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}$

Mit der Larmor-Frequenz ${{\omega }_{l}}:={\frac {|e|B}{2{{m}_{0}}}}$

{{#set:Definition=Larmor-Frequenz|Index=Larmor-Frequenz}}

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist ${\hat {H}}={\hat {V}}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable (im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:

${{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]$

Berechnung der Erwartungswerte mit $\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{k}}\right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{l}}$:

${\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle$

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Dies läßt sich reduzieren:

${\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0$

Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:

${\begin{aligned}&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)-{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}\\\end{aligned}}$

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:

${{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}=0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

${{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}$

Mit anderen Worten:

${{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{0}}\right|}^{2}}=const$, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht!

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2{{\omega }_{l}}$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände

$\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|a(t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|a(t)\right\rangle$ (Schrödingergleichung für Spinzustände)

{{#set:Gleichung=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände|Index=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}

Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand $\left|a(t)\right\rangle$ in der Spinbasis entwickelbar sein:

$\left|a(t)\right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left|\downarrow \right\rangle$

Matrix- Darstellung:

$\hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}$

Die Lösung lautet:

${\begin{aligned}&{{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\\&{{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\\\end{aligned}}$

$\left|a(t)\right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left|\downarrow \right\rangle$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}}\right\rangle }_{t}}$, also die Spinpräzession wie oben!