Dirac- Gleichung für Elektronen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Dirac- Gleichung für Elektronen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand $\mathrm{\Psi }(\overline{r},0)$

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=H\mathrm{\Psi }$

Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in $\frac{\partial }{\partial x}$

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

$\hat{H}=c\overline{\alpha }\overline{p}+m_0{c}^2\beta =\frac{\hslash }{i}c\overline{\alpha }\mathrm{\nabla }+m_0{c}^2\beta$

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=(\frac{\hslash }{i}c\overline{\alpha }\cdot \mathrm{\nabla }+m_0{c}^2\beta )\mathrm{\Psi }$

mit

$\overline{\alpha }\cdot \mathrm{\nabla }={\alpha }^1{\partial }_1+{\alpha }^2{\partial }_2+{\alpha }^3{\partial }_3={\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }$

$i\hslash {\partial }_0\mathrm{\Psi }=(\frac{\hslash }{i}c{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }+m_0{c}^2\beta )\mathrm{\Psi }$

Aufgrund der Isotropie des Raumes können ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\alpha }^3$

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\alpha }^3$

Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch $\beta$

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können $\overline{\alpha }$

und $\beta$

nicht auf die Bahnvariable $\overline{r}$

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!

Es gilt:

$\mathrm{\Psi }\in H=H_B\otimes H_S$

Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR!!

$\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\\ ...\\ {\mathrm{\Psi }}_n\\ \end{array}\right)$

${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\alpha }^3$

und somit auch $\beta$

sind also nxn Matrizen!

Dabei vertauschen die ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\alpha }^3$

mit dem Impuls:

$[\overline{\alpha },\overline{p}]=0$

Fazit:

Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: $\mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\\ ...\\ {\mathrm{\Psi }}_n\\ \end{array}\right)$

Hermitizität

$\hat{H},\hat{\overline{p}}$

sind hermitesch

${\hat{H}}^{+}=c{\overline{p}}^{+}{\overline{\alpha }}^{+}+m_0{c}^2{\beta }^{+}=c\overline{p}{\overline{\alpha }}^{+}+m_0{c}^2{\beta }^{+}=c{\overline{\alpha }}^{+}\overline{p}+m_0{c}^2{\beta }^{+}=H$

Somit sind auch ${\alpha }^1,{\alpha }^2,{\alpha }^3$

und somit auch $\beta$

hermitesch:

$\begin{array}{ll}& {\overline{\alpha }}^{+}=\overline{\alpha }\\ & {\beta }^{+}=\beta \\ \end{array}$

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators $\sqrt{{m_0}^2{c}^4-{\hslash }^2{c}^2\mathrm{\Delta }}$ .

Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von $\overline{\alpha },\beta$

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

$\begin{array}{ll}& i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=(c\overline{\alpha }\overline{p}+m_0{c}^2\beta )\mathrm{\Psi }\\ & -{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Psi }=(c\overline{\alpha }\overline{p}+m_0{c}^2\beta )(c\overline{\alpha }\overline{p}+m_0{c}^2\beta )\mathrm{\Psi }\\ & \Rightarrow -{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Psi }=(c^2\left(\overline{\alpha }\overline{p}\right)\left(\overline{\alpha }\overline{p}\right)+m_0{c}^3(\overline{\alpha }\overline{p}\beta +\beta \overline{\alpha }\overline{p})+{m_0}^2{c}^4{\beta }^2)\mathrm{\Psi }\\ & \Rightarrow -{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Psi }=(c^2\sum _{\mu ,\nu =1}^3\left({\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }\right)+m_0{c}^3\sum _{\mu =1}^3({\alpha }^{\mu }\beta +\beta {\alpha }^{\mu })p^{\mu }+{m_0}^2{c}^4{\beta }^2)\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

$\begin{array}{ll}& -{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Psi }=[c^2{p}^2+{m_0}^2{c}^4]\mathrm{\Psi }\\ & \Rightarrow (c^2\sum _{\mu ,\nu =1}^3\left({\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }\right)+m_0{c}^3\sum _{\mu =1}^3({\alpha }^{\mu }\beta +\beta {\alpha }^{\mu })p^{\mu }+{m_0}^2{c}^4{\beta }^2)\mathrm{\Psi }=[c^2{p}^2+{m_0}^2{c}^4]\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

$\begin{array}{ll}& \sum _{\mu ,\nu =1}^3\left({\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }\right)=p^2\\ & \Rightarrow {\left({\alpha }^{\mu }\right)}^2=1\\ & {\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }+{\alpha }^{\nu }{\alpha }^{\mu }=0f\ddot{u}r\nu \ne \mu \\ & {\alpha }^{\mu }\beta +\beta {\alpha }^{\mu }=0\\ & {\beta }^2=1\\ \end{array}$

Dabei gilt insbesondere obige Relation ${\alpha }^{\mu }\beta +\beta {\alpha }^{\mu }=0$

und ${\alpha }^{\mu }{\alpha }^{\nu }+{\alpha }^{\nu }{\alpha }^{\mu }=0f\ddot{u}r\nu \ne \mu$

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von $\alpha$ ,

also ${\alpha }^{\mu }und{\alpha }^{\nu }$

antikommutieren, wie auch ${\alpha }^{\mu }und\beta$

$\{{\alpha }^{\mu },{\alpha }^{\nu }\}=0$

$\{{\alpha }^{\mu },\beta \}=0$

Matrizendarstellung von ${\alpha }^{\mu }und\beta$

als nxn- Matrix

Eigenschaften

Die Eigenwerte von ${\alpha }^{\mu }und\beta$

sind$\pm 1$

$v^{\mu }=c{\alpha }^{\mu }$

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von ${\alpha }^{\mu }und\beta$

sind$\pm 1$

${\alpha }^{\mu }v=\lambda v$

mit $\lambda \in R$

$\begin{array}{ll}& {\left({\alpha }^{\mu }\right)}^{2}v={\lambda }^{2}v\\ & {\left({\alpha }^{\mu }\right)}^2=1\Rightarrow {\lambda }^2=1\\ & \Rightarrow \lambda =\pm 1\\ \end{array}$

Weiter gilt: $tr\left({\alpha }^{\mu }\right)=tr\left(\beta \right)=0$

Beweis:

$tr\left({\alpha }^{\mu }\right)=tr\left({\beta }^2{\alpha }^{\mu }\right)=tr\left(\beta {\alpha }^{\mu }\beta \right)$

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

$tr\left(\beta {\alpha }^{\mu }\beta \right)=tr(\beta (-\beta {\alpha }^{\mu }))=-tr\left({\beta }^2{\alpha }^{\mu }\right)=tr\left({\beta }^2{\alpha }^{\mu }\right)=-tr\left({\alpha }^{\mu }\right)=tr\left({\alpha }^{\mu }\right)=0$

Weitere Einschränkungen:

$\begin{array}{ll}& tr\left({\alpha }^{\mu }\right)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=0\\ & {\lambda }_i=\pm 1\\ \end{array}$

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

Diskussion: n=2:

Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!

$\begin{array}{ll}& {\sigma }^1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\\ & {\sigma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\\ \end{array}\right)\\ & {\sigma }^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\\ & tr{\sigma }^{\mu }=0\\ \end{array}$

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im $R^2\otimes R^2$

n=4

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

$\begin{array}{ll}& {\alpha }^{\mu }=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^{\mu }\\ {\sigma }^{\mu }& 0\\ \end{array}\right)\in M\left(4x4\right)\\ & \beta =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\in M\left(4x4\right)\\ \end{array}$

Also schreibt sich der Zustand

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Psi }=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\\ {\mathrm{\Psi }}_2\\ {\mathrm{\Psi }}_3\\ {\mathrm{\Psi }}_4\\ \end{array}\right)=\sum _{s=1}^4{\mathrm{\Psi }}_S(\overline{r},t){\overline{e}}_s\\ & {\overline{e}}_s:=\left(\begin{array}{c}0\\ ...\\ 1\\ ...\\ \end{array}\right)\leftarrow 1ans-terStelle\\ \end{array}$

Bemerkung:

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!

Kontinuitätsgleichung

$\begin{array}{ll}& i\hslash \dot{\mathrm{\Psi }}=-i\hslash c{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }+m_0{c}^2\beta \mathrm{\Psi }\\ & -i\hslash {\dot{\mathrm{\Psi }}}^{+}=i\hslash c{\left({\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }\right)}^{+}+m_0{c}^2{\left(\beta \mathrm{\Psi }\right)}^{+}\\ & {\left(\beta \mathrm{\Psi }\right)}^{+}={\mathrm{\Psi }}^{+}\beta \\ & {\left({\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }\right)}^{+}=\left({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{+}\right){\alpha }^{\mu }\\ \end{array}$

Durch Linksmultiplikation mit ${\mathrm{\Psi }}^{+}$

bzw. Rechtsmultiplikation mit $\mathrm{\Psi }$

gewinnt man :

$\begin{array}{ll}& i\hslash {\mathrm{\Psi }}^{+}\dot{\mathrm{\Psi }}=-i\hslash c{\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }+m_0{c}^2{\mathrm{\Psi }}^{+}\beta \mathrm{\Psi }\\ & -i\hslash {\dot{\mathrm{\Psi }}}^{+}\mathrm{\Psi }=i\hslash c{\left({\alpha }^{\mu }{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }\right)}^{+}\mathrm{\Psi }+m_0{c}^2{\left(\beta \mathrm{\Psi }\right)}^{+}\mathrm{\Psi }\\ \end{array}$

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

$\begin{array}{ll}& i\hslash ({\mathrm{\Psi }}^{+}\dot{\mathrm{\Psi }}+{\dot{\mathrm{\Psi }}}^{+}\mathrm{\Psi })=-i\hslash c({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }\right)+\left({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{+}\right){\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi })\\ & ({\mathrm{\Psi }}^{+}\dot{\mathrm{\Psi }}+{\dot{\mathrm{\Psi }}}^{+}\mathrm{\Psi })=\frac{\partial }{\partial t}\left({\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }\right)\\ & ({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }\right)+\left({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{+}\right){\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi })={\partial }_{\mu }\left({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi }\right)\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left({\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }\right)+c{\partial }_{\mu }\left({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi }\right)=0\\ & \Rightarrow \left({\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }\right)=\rho \\ & \Rightarrow \left({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi }\right)=\frac{j^{\mu }}{c}\\ \end{array}$

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte$\rho =\left({\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }\right)=\sum _{s=1}^4{{\mathrm{\Psi }}_S}^{*}{\mathrm{\Psi }}_S\ge 0$

(glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte $j^{\mu }=c\left({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi }\right)\mu =1,2,3$

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

${\partial }_k{j}^k=0$

mit

$\begin{array}{ll}& j^0=c{\mathrm{\Psi }}^{+}\mathrm{\Psi }=c\sum _{s=1}^4{{\mathrm{\Psi }}_S}^{*}{\mathrm{\Psi }}_S=c\rho \\ & j^{\mu }=c\left({\mathrm{\Psi }}^{+}{\alpha }^{\mu }\mathrm{\Psi }\right)=c\sum _{s,s\stackrel{´}{}}^{}{\mathrm{\Psi }}_S*{{\alpha }_{SS\stackrel{´}{}}}^{\mu }{\mathrm{\Psi }}_{S\stackrel{´}{}}\mu =1,2,3\\ \end{array}$