Die Dirac Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Die Klein-Gordon-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Klein-Gordon-Gleichung|Index=Klein-Gordon-Gleichung}}

{{\left({\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}-e\phi \right)}^{2}}\Psi =\left({{\left({\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}+{{m}^{2}}\right)\Psi \quad c=\hbar =1

(1.29)

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi =\left(\pm {\sqrt {{{\left({\hat {\underline {p}}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}+{{m}^{2}}}}+e\phi \right)\Psi

(1.30)

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi \quad {\hat {H}}=e\phi +{\underline {\alpha }}\left({\underline {\hat {p}}}-e{\underline {A}}\right)+\beta m

(1.31)

mit ${\underline {\alpha }}=\left({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}}\right)\,,\,\beta$ zu bestimmen.

Ansatz $\left[{\underline {\alpha }},{\underline {p}}\right]=\left[\beta ,{{p}_{i}}\right]=0$ ^[1]

Für $\phi ={\underline {A}}=0$ soll ${\hat {H}}={\sqrt {{{\hat {\underline {p}}}^{2}}+{{m}^{2}}}}$ also ${{\underline {\hat {p}}}^{2}}+{{m}^{2}}={{\left({\underline {\alpha }}{\underline {\hat {p}}}+\beta m\right)}^{2}}$ .

Vielleicht liefert

{{\beta }^{2}}=1,\quad {{\alpha }_{i}}\beta +\beta {{\alpha }_{i}}=0,\quad {{\alpha }_{i}}{{\alpha }_{j}}+{{\alpha }_{j}}{{\alpha }_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\quad i\in \left\{1,2,3\right\}

(1.32)

die Lösung.

{\underline {\alpha }},\beta

erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra{{#set:Fachbegriff=Clifford-Algebra|Index=Clifford-Algebra}} von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

${{\alpha }_{i}},\beta$ sollen hermitesch sein ( ${\hat {H}}$ soll nur reelle Eigenwerte haben): ${{\alpha }_{i}}={{\alpha }_{i}}^{+}\equiv {{\left({{a}_{i}}^{*}\right)}^{T}}$
${{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow \beta ={{\beta }^{T}}={{\beta }^{-1}}\Rightarrow \beta$ unitär, ebenso ${{\alpha }_{i}}$ unitär
Aus ${{\alpha }_{i}}=-\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\Rightarrow \underbrace {Tr} _{\text{Spur}}\left({{\alpha }_{i}}\right)=-Tr\left(\beta {{\alpha }_{i}}{{\beta }^{-1}}\right)\underbrace {=} _{\text{zyklische Vertauschung}}-Tr\left({{\alpha }_{i}}\right)\Rightarrow Tr\left({{\alpha }_{i}}\right)=0$

analog

\beta =-{{\alpha }_{i}}\beta {{\alpha }_{i}}^{-1}\Rightarrow Tr\left(\beta \right)=0

${{\beta }^{2}}=\alpha _{i}^{2}=1\Rightarrow {{\alpha }_{i}},\beta$ haben nur die Eigenwerte $\pm 1$
Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben ${{\alpha }_{i}},\beta$ grade Dimension
2x2 Matrizen tun es nicht:

Freie Parameter bei Matrizen! M!! **P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M**
komplex	2N²
Komplex, hermitesch $M={{M}^{T}}$	N²(Diagonale)+N²-N=N²
$M={{M}^{T}},Tr\left(M\right)=0$	${{N}^{2}}-1$ wegen der Zusatzbedingung $Tr\left(M\right)=0$

Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit $M={{M}^{T}},Tr\left(M\right)=0$ lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen{{#set:Fachbegriff=Pauli-Matrizen|Index=Pauli-Matrizen}}

{{\sigma }_{1}}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\quad {{\sigma }_{2}}=\left({\begin{matrix}0&-{\mathfrak {i}}\\{\mathfrak {i}}&0\\\end{matrix}}\right)\quad {{\sigma }_{3}}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)

(1.33)

darstellen, d.h,

M={\underline {p}}.{\underline {\sigma }}={{p}_{1}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{1}}+{{p}_{2}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}}+{{p}_{2}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}},\quad {\underline {\sigma }}=\underbrace {\left({{\underline {\underline {\sigma }}}_{1}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{3}}\right)} _{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}\quad ,{\underline {p}}=\underbrace {\left({{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}}\right)} _{\in {{\mathbb {R} }^{3}}}

{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}^{2}={\underline {\underline {1}}},\quad {{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}^{T}={{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}},\quad Tr\left({{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}\right)=0,\quad \left\{{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}\right\}:={{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}-{{\underline {\underline {\sigma }}}_{j}}{{\underline {\underline {\sigma }}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}{\underline {\underline {1}}}

^[2]

(1.34)

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)