Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Lösung der Differenzialgleichung
Definition: Fluß im Phasenraum
to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.
Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:
Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:
Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:
Die Lösung lautet:
Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.
Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:
Beweis:
Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.
Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:
Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:
Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.
Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:
Bei t:
Mit der Jacobi- Matrix:
Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:
Somit folgt:
Mit Hilfe
folgt:
Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:
Nebenbemerkung:
Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:
Für den Fluß
- zu ist
eine symplektische Matrix, das heißt
- .
Das bedeutet, das Volumenelement
im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:
Whoa, things just got a whole lot eiaser.