Affinie Abbildung

2.1 Definition

Seien $(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )$ affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung $f:X\to Y$heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung $g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}$ gibt so dass für alle Punkte $p,q\in X$ gilt

${\overrightarrow {f(p)f(q)}}=g({\overrightarrow {pq}})$

2.2 Vereinfachung

Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. Seien $(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )$ affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und $q\in X$beliebig.

$f:X\to Y$ ist affin $\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left(\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:{\overrightarrow {{{p}_{0}}q}}\to {\overrightarrow {f({{p}_{0}})f(q)}}\right)$

Beweis: Man geht den Umweg über p0: In jedem affinen Raum gilt:

${\begin{aligned}&\left(p,q,{{p}_{0}}\right)\in {{X}^{2}}\\&{\overrightarrow {pq}}={\overrightarrow {p{{p}_{0}}}}+{\overrightarrow {{{p}_{0}}q}}={\overrightarrow {{{p}_{0}}q}}+{{\left({\overrightarrow {{{p}_{0}}p}}\right)}^{-1}}={\overrightarrow {{{p}_{0}}q}}-{\overrightarrow {{{p}_{0}}p}}\\\end{aligned}}$

Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. $g\left({\overrightarrow {pq}}\right)=g\left({\overrightarrow {{{p}_{0}}q}}\right)-g\left({\overrightarrow {{{p}_{0}}p}}\right)={\overrightarrow {f\left({{p}_{0}}\right)f\left(q\right)}}-{\overrightarrow {f\left({{p}_{0}}\right)f\left(p\right)}}={\overrightarrow {f\left(p\right)f\left(p\right)}}\in {{V}_{M}}$ Zum Vergleich: In der Definition heißt es:

$f:X\to Y{\text{ affin }}\Leftrightarrow {\text{ }}\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left(t\right):\forall \left(p,q\right)\in {{X}^{2}}:{\overrightarrow {f(p)f(q)}}=g({\overrightarrow {\underbrace {pq} _{t}}})$

Aber es geht noch weiter: Sind $x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}$vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung $f:X\to Y:f\left(x\right)=y{\text{ und }}g:=g'$ Beweis:

${\begin{aligned}&\forall {x}'\in X:{\overrightarrow {f\left(x\right)f\left({{x}'}\right)}}=g\left({\overrightarrow {x{x}'}}\right)\\&\Rightarrow g\left({\overrightarrow {x{x}'}}\right)+f\left(x\right)=f\left({{x}'}\right)\\\end{aligned}}$