Affine Quadrik

Definition

Eine Teilmenge $Q\in {{K}^{n}}$heißt Quadrik, wenn es ein quadratisches Polynom P gibt, so dass $Q=\left\{\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\in {{K}^{n}}:P\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)=0\right\}$

Affine Hauptachsentransformationen reeller Quadriken

Satz über die affinen Hauptachsentransformationen von reellen Quadriken

Sei

$Q=\left\{x\in {{\mathbb {R} }^{n}}:{}^{t}{x}'{A}'{x}'\right\}$

wobei ${A}'$eine symmetrische (n+1)-reihige Matrix bezeichnet. Es sei 

$m:=Rang{\text{ }}A$

, ${m}':=rang{A}'$ Dann gibt es eine Affinität $f:{{\mathbb {R} }^{n}}\to {{\mathbb {R} }^{n}}$, so dass f(Q) beschrieben wird durch eine Gleichung in Hauptachsentransformation, d.h. von der Form

$\left\{{\begin{matrix}y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}=0{\text{ falls }}m={m}'\\y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}=1{\text{ falls }}m+1={m}'\\y_{1}^{2}+...+y_{k}^{2}-y_{k+1}^{2}-...-y_{m}^{2}+2{{y}_{m+1}}=0{\text{ falls }}m+2={m}'\\\end{matrix}}\right.$