Affinie Abbildung

2.1 Definition

Seien $(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )$ affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung $f:X\to Y$heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung $g:T_M\to V_M$ gibt so dass für alle Punkte $p,q\in X$ gilt

$\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})$

2.2 Vereinfachung

Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. Seien $(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )$ affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und $q\in X$beliebig.

$f:X\to Y$ ist affin $\iff \mathrm{\exists }{p}_0\in X:(\mathrm{\exists }g:T_M\to V_M:\overrightarrow{p_{0}q}\to \overrightarrow{f(p_0)f(q)})$

Beweis: Man geht den Umweg über p0: In jedem affinen Raum gilt:

$\begin{array}{ll}& (p,q,p_0)\in X^2\\ & \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{p}_0}+\overrightarrow{p_{0}q}=\overrightarrow{p_{0}q}+{\left(\overrightarrow{p_{0}p}\right)}^{-1}=\overrightarrow{p_{0}q}-\overrightarrow{p_{0}p}\\ \end{array}$

Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. $g\left(\overrightarrow{pq}\right)=g\left(\overrightarrow{p_{0}q}\right)-g\left(\overrightarrow{p_{0}p}\right)=\overrightarrow{f\left(p_0\right)f\left(q\right)}-\overrightarrow{f\left(p_0\right)f\left(p\right)}=\overrightarrow{f\left(p\right)f\left(p\right)}\in V_M$ Zum Vergleich: In der Definition heißt es:

$f:X\to Y\text{ affin }\iff \mathrm{\exists }g:T_M\to V_M,t\to g\left(t\right):\mathrm{\forall }(p,q)\in X^2:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underset{t}{\underbrace{pq}}})$

Aber es geht noch weiter: Sind $x\in X,y\in Y,g^{\prime }:T_M\to V_M$vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung $f:X\to Y:f\left(x\right)=y\text{ und }g:=g^{\prime }$ Beweis:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\forall }{x^{\prime }}^{\prime }\in X:\overrightarrow{f\left(x\right)f\left({x^{\prime }}^{\prime }\right)}=g\left(\overrightarrow{x{x^{\prime }}^{\prime }}\right)\\ & \Rightarrow g\left(\overrightarrow{x{x^{\prime }}^{\prime }}\right)+f\left(x\right)=f\left({x^{\prime }}^{\prime }\right)\\ \end{array}$