Affine Quadrik

Definition

Eine Teilmenge $Q\in K^n$heißt Quadrik, wenn es ein quadratisches Polynom P gibt, so dass $Q=\{(x_1,...,x_n)\in K^n:P(x_1,...,x_n)=0\}$

Affine Hauptachsentransformationen reeller Quadriken

Satz über die affinen Hauptachsentransformationen von reellen Quadriken

Sei

$Q=\{x\in {\mathbb{ℝ}}^n:{}^t{x^{\prime }}^{\prime }{A^{\prime }}^{\prime }{x^{\prime }}^{\prime }\}$

wobei $A\text{'}$eine symmetrische (n+1)-reihige Matrix bezeichnet. Es sei 

$m:=RangA$

, $m\text{'}:=rang{A^{\prime }}^{\prime }$ Dann gibt es eine Affinität $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to {\mathbb{ℝ}}^n$, so dass f(Q) beschrieben wird durch eine Gleichung in Hauptachsentransformation, d.h. von der Form

$\{\begin{array}{c}{y}_1^2+...+y_k^2-y_{k+1}^2-...-y_m^2=0\text{ falls }m={m^{\prime }}^{\prime }\\ y_1^2+...+y_k^2-y_{k+1}^2-...-y_m^2=1\text{ falls }m+1={m^{\prime }}^{\prime }\\ y_1^2+...+y_k^2-y_{k+1}^2-...-y_m^2+2y_{m+1}=0\text{ falls }m+2={m^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}$