Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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__SHOWFACTBOX__
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b87e621b1ae5b113659edca31ae4f9078b03312)
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fc34f9988e7d32e7a403a187171591ee71df5c)
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
![{\displaystyle U(t,0)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)}^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6a2e1676f14d02a12324df3458503d4efa0dbe)
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={\hat {H}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={\hat {H}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{}{\frac {1}{n-1!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n-1}}{{\hat {H}}^{n-1}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74017898805b2680cf9a3e088b1a1523f7172b3d)
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Klar:
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
![{\displaystyle {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {H}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f5fdcdb01f27ccfb6e5780a527b9aa5f3a9b69)
Mit der formalen Lösung:
![{\displaystyle {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d124237de6f7cc7a5c504e65e8f094f19eec05f)
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
ergibt sich für
![{\displaystyle {\hat {F}}={\hat {F}}\left({\hat {\bar {r}}},{\hat {\bar {p}}},t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627f282f309910063a4cadb3ac1dc0931b9206b7)
![{\displaystyle \left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0295bf90c9916c4940ba2cde3b16f4800f2b673)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\right){\frac {d}{dt}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right)\\&\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\right)=-{\frac {1}{i\hbar }}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {H}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5fd50adcc03a014d0ac97e503cc532c3ee9801)
Also:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a912a32aeba9bbfd81fd563a1e9d8e1c8ad9402)
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
![{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af81436e01a6554a1801f1fa0f9b63a4ced73e85)
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
eine klassische Observable und
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\sum \limits _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}\\&{\frac {d}{dt}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\sum \limits _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\left\{H,F\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ff030a758db234cab3efaf4542da761da46dfe)
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
![{\displaystyle \left\{H,F\right\}\to {\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c0e909884b5fc8b501dad04cca9955077c101f)
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
" als Operator:
![{\displaystyle {\hat {F}}{}^{\circ }={\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f9be7488814f826b16fd1dd9c499d39b6e3608)
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für
,
da im Allgemeinen:
![{\displaystyle {\hat {F}}{}^{\circ }\neq {\frac {d{\hat {F}}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5918281856400e3f31aa200cf45d4cd54ad6ba1)
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
![{\displaystyle \left\langle {\hat {F}}{}^{\circ }\right\rangle ={\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a666d84aca87d017e3e199c801565d9982fab885)
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bar {r}}}{}^{\circ }={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {r}}}\right]\\&{\hat {\bar {p}}}{}^{\circ }={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {p}}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2371b634f47df63d7517454c709b5f1d9dfca8)
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {r}}}=0\\&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {p}}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17817ca76230b643411f428c327270d17e61622)
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\bar {p}}}^{2}}{2m}}+V({\hat {\bar {r}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a72d8b6762c44710dee9470cbcff603ab29cc8c)
folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {p}}_{k}}}}\\&\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {x}}_{k}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3567af6fa113b35c7e0935c23ad80a837e2c594)
Also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bar {r}}}{}^{\circ }={\frac {\hat {\bar {p}}}{m}}\\&{\hat {\bar {p}}}{}^{\circ }=-\nabla V\left({\hat {\bar {r}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b87aa2f73e55b291a663ac1377a778dc51d7f6)
Denn:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {p}}_{k}}}}={\frac {\hbar }{i}}{{\hat {x}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{\hat {x}}^{\circ }}={\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\hat {p}}}}={\frac {\hat {p}}{m}}\\&\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {x}}_{k}}}}\Rightarrow {{\hat {p}}^{\circ }}=-{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\hat {x}}}}=-\nabla V\left({\hat {x}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388591d3faa8429fdac2dd91dbd607e2353fb99d)
Merke:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {\bar {r}}}^{{}^{\circ }}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {\bar {p}}}^{{}^{\circ }}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2888d835e309c7538a6cc5f6ec2060b52f1667)
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle ={\frac {1}{m}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =-\left\langle \nabla V\left({\hat {\bar {r}}}\right)\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b30d37f33105d64a09b4f034a39b5acfc478ef7)
da ja:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|\Psi \right\rangle \to \left|\Psi {\acute {\ }}\right\rangle =U\left|\Psi \right\rangle \\&{\hat {F}}\to {\hat {F}}{\acute {\ }}=U{\hat {F}}{{U}^{+}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6bcbbd3581b269bf7d8f569ff1cd2817a74d23)
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte
,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
Operatoren
zeitunabhängig
Eigenvektoren
zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b87e621b1ae5b113659edca31ae4f9078b03312)
Veranschaulichung im
Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht!
Im
entspricht
einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d8b8504fd2c1f24c622b06c629c959b368d5bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{\hat {F}}_{S}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{\hat {F}}_{S}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{\hat {F}}_{S}}U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}\\&{{U}^{+}}(t,0){{\hat {F}}_{S}}U(t,0)={{\hat {F}}_{H}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330be552962deb51d88917c1619af56f109e1a1d)
In diesem Bild sind die
Operatoren
zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitunabhängig:
Veranschaulichung im
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung).
Aus
![{\displaystyle {{\hat {F}}_{H}}(t)={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ccfc5cad5753a71fda181422244159c4840c14)
folgt:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}+{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\hat {F}}_{S}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\right){{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6e80fcb976565d468e945c6ac8a9650b0f1073)
Also:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{{\hat {F}}_{H}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939f73609b47d9d14a22da0beb2d6b26680e22ab)
(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
![{\displaystyle {\hat {F}}{{{}^{\circ }}_{H}}={\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{{\hat {F}}_{H}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746ddd586564c05e69fe6e7b1220f187fd39b6b5)
Insbesondere gilt:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {H}}_{H}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbce890ab35d8171336246136069aa37f5feed4)
also die bildunabhängige Darstellung
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{H}}={{\hat {H}}_{S}}={\hat {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cdd6a51115fc2265df92ba6fcdfd4bf90318be)
Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
Sei
mit dem ungestörten Hamiltonoperator
und der Störung
.
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
![{\displaystyle {{\hat {F}}_{W}}(t)={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edcc26de132bb99abfd6513bc6ad36319970cb90)
Somit gilt wieder die Relation
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{W}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {F}}_{W}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f8a3090d4b5964b44dcf9d6bea69b85efdc183)
Also:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {H}}^{0}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad582ec0ab3cd643558cc8193ff39b990822e400)
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
bildunabhängig.
Aber:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {H}}_{W}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {H}}_{W}}\right]={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {H}}^{1}}\right]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4257596caf3c8ceb0eeb9a155f58abbde20e8d9d)
im Allgemeinen
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{\hat {F}}_{S}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{\hat {F}}_{S}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}={{\hat {F}}_{W}}(t)\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\&\left\langle {{\hat {F}}_{S}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{\hat {F}}_{W}}(t){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53501e22ea24d45ab5223f1a50e8a10e7255993)
Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}_{S}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {1}{i\hbar }}\left(-{{\hat {H}}^{0}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}+{{\hat {H}}_{W}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\right)\\&wegen\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {H}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}={{\hat {H}}_{W}}\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b58e3f7c4b13ffd252489c681eaab8eb8930302)
Aber:
![{\displaystyle {{\hat {H}}_{W}}={{\hat {H}}^{0}}+{{\hat {H}}^{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9938f6dc1ba6c20de12528afd996afa75818a381)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}^{1}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}_{W}}^{1}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7713270734decb187cf24931cfdd460919f4160)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{W}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {F}}_{W}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f8a3090d4b5964b44dcf9d6bea69b85efdc183)
Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\left(t\right)={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{1}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\left(0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e95eb9df2dc6d10d7b0dd9d560a2c03ef9d314)
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator
.