Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte die zeitabhängigen Zustände${|\Psi ⟩}_t$

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t=\hat{H}{|\Psi ⟩}_t$

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

${|\Psi ⟩}_t=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}{|\Psi ⟩}_0=U(t,0){|\Psi ⟩}_0$

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

$U(t,0)=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{(-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t)}^n$

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{(-\frac{i}{\hslash }t)}^n{\hat{H}}^n{|\Psi ⟩}_0=\hat{H}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{(-\frac{i}{\hslash }t)}^n{\hat{H}}^n{|\Psi ⟩}_0=\hat{H}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n-1!}{(-\frac{i}{\hslash }t)}^{n-1}{\hat{H}}^{n-1}{|\Psi ⟩}_0$

Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!

Klar: $\begin{array}{cc}& H^{+}=H\\ & \Rightarrow U^{+}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{i}{\hslash }t\right)}^n{\hat{H}}^n\Rightarrow U^{+}U=1\\ \end{array}$

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

${⟨\Psi |}_t\hat{H}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{⟨\Psi |}_t$

Mit der formalen Lösung:

${⟨\Psi |}_t={⟨\Psi |}_0{e}^{\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}={⟨\Psi |}_0{U}^{+}(t,0)$

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über $\overline{A}(t)$ ergibt sich für

$\hat{F}=\hat{F}(\hat{\overline{r}},\hat{\overline{p}},t)$

$⟨\hat{F}⟩={⟨\Psi |}_t\hat{F}{|\Psi ⟩}_t$

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}⟨\hat{F}⟩=\frac{d}{dt}{⟨\Psi |}_t\hat{F}{|\Psi ⟩}_t={⟨\Psi |}_t\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}{|\Psi ⟩}_t+\left(\frac{\partial }{\partial t}{⟨\Psi |}_t\right)\frac{d}{dt}\hat{F}{|\Psi ⟩}_t+{⟨\Psi |}_t\hat{F}\left(\frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t\right)\\ & \left(\frac{\partial }{\partial t}{⟨\Psi |}_t\right)=-\frac{1}{i\hslash }{⟨\Psi |}_t\hat{H}\\ & \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t=\frac{1}{i\hslash }\hat{H}{|\Psi ⟩}_t\\ \end{array}$

Also:

$\frac{d}{dt}⟨\hat{F}⟩=\frac{d}{dt}{⟨\Psi |}_t\hat{F}{|\Psi ⟩}_t={⟨\Psi |}_t\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{F}]{|\Psi ⟩}_t$

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:

$[\hat{H},\hat{F}]=0\Rightarrow \frac{d}{dt}⟨\hat{F}⟩=0$

Klassisches Analogon: Poisson- Klammern in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei $F(\overline{q},\overline{p},t)$ eine klassische Observable und $H(\overline{q},\overline{p})$ die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}F(\overline{q},\overline{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\overline{q},\overline{p},t)+\sum _{i=1}^3(\frac{\partial F(\overline{q},\overline{p},t)}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial F(\overline{q},\overline{p},t)}{\partial p_i}{\dot{p}}_i)\\ & \frac{d}{dt}F(\overline{q},\overline{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\overline{q},\overline{p},t)+\sum _{i=1}^3(\frac{\partial F(\overline{q},\overline{p},t)}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F(\overline{q},\overline{p},t)}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i})=\frac{\partial }{\partial t}F(\overline{q},\overline{p},t)+\{H,F\}\\ \end{array}$

Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:

$\{H,F\}\to \frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{F}]$

Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von $F(\overline{q},\overline{p},t)$ " als Operator:

$\hat{F}{}^{\circ }=\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{F}]$

Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für $\hat{F}$,

da im Allgemeinen:

$\hat{F}{}^{\circ }\ne \frac{d\hat{F}}{dt}$

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:

$⟨\hat{F}{}^{\circ }⟩=\frac{d}{dt}⟨\hat{F}⟩$

Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{array}{cc}& \hat{\overline{r}}{}^{\circ }=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{\overline{r}}]\\ & \hat{\overline{p}}{}^{\circ }=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{\overline{p}}]\\ \end{array}$

Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):

$\begin{array}{cc}& {\partial }_t\hat{\overline{r}}=0\\ & {\partial }_t\hat{\overline{p}}=0\\ \end{array}$

→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich

$\hat{H}=\frac{{\hat{\overline{p}}}^2}{2m}+V(\hat{\overline{r}})$

folgt:

$\begin{array}{cc}& [\hat{H},{\hat{x}}_k]=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{p}}_k}\\ & [\hat{H},{\hat{p}}_k]=-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{x}}_k}\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{cc}& \hat{\overline{r}}{}^{\circ }=\frac{\hat{\overline{p}}}{m}\\ & \hat{\overline{p}}{}^{\circ }=-\mathrm{\nabla }V\left(\hat{\overline{r}}\right)\\ \end{array}$

Denn:

$\begin{array}{cc}& [\hat{H},{\hat{x}}_k]=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{p}}_k}=\frac{\hslash }{i}{{\hat{x}}_k}^{\circ }\Rightarrow {\hat{x}}^{\circ }=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}=\frac{\hat{p}}{m}\\ & [\hat{H},{\hat{p}}_k]=-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {\hat{x}}_k}\Rightarrow {\hat{p}}^{\circ }=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}}=-\mathrm{\nabla }V\left(\hat{x}\right)\\ \end{array}$

Merke:

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=⟨{\hat{\overline{r}}}^{{}^{\circ }}⟩\\ & \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=⟨{\hat{\overline{p}}}^{{}^{\circ }}⟩\\ \end{array}$

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=\frac{1}{m}⟨\hat{\overline{p}}⟩\\ & \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=-⟨\mathrm{\nabla }V\left(\hat{\overline{r}}\right)⟩\\ \end{array}$

da ja: $\begin{array}{cc}& {\partial }_t\hat{\overline{r}}=0\\ & {\partial }_t\hat{\overline{p}}=0\\ \end{array}$

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen

Bilder

Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:

$\begin{array}{cc}& |\Psi ⟩\to |\Psi \stackrel{´}{}⟩=U|\Psi ⟩\\ & \hat{F}\to \hat{F}\stackrel{´}{}=U\hat{F}{U}^{+}\\ \end{array}$

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte $\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0$,

also keine explizite Zeitabhängigkeit!

Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!

Schrödingerbild:

Operatoren ${\hat{F}}_S(\hat{\overline{r}},\hat{\overline{p}})$ zeitunabhängig Eigenvektoren $|n⟩$ zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $|\Psi ⟩$ zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t=\hat{H}{|\Psi ⟩}_t$

Veranschaulichung im $R^2$

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im $R^2$ entspricht ${\hat{F}}_S$ einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:

${|\Psi ⟩}_t=U(t,0){|\Psi ⟩}_0$

Das Heisenbergbild

$\begin{array}{cc}& ⟨{\hat{F}}_S⟩={⟨\Psi |}_t{\hat{F}}_S{|\Psi ⟩}_t={⟨\Psi |}_0{U}^{+}(t,0){\hat{F}}_{S}U(t,0){|\Psi ⟩}_0\\ & U^{+}(t,0){\hat{F}}_{S}U(t,0)={\hat{F}}_H(t)\\ \end{array}$

In diesem Bild sind die Operatoren ${\hat{F}}_H(t)$ zeitabhängig und damit Eigenvektoren $|n⟩$ zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $|\Psi ⟩={|\Psi ⟩}_0$ zeitunabhängig: Veranschaulichung im $R^2$

Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus

${\hat{F}}_H(t)=e^{\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}{\hat{F}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}$

folgt:

$\frac{d}{dt}{\hat{F}}_H(t)=\frac{i}{\hslash }\hat{H}{e}^{\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}{\hat{F}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}+e^{\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}{\hat{F}}_S(-\frac{i}{\hslash }\hat{H})e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}$

Also:

$\frac{d}{dt}{\hat{F}}_H(t)=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},{\hat{F}}_H]$

(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild:

$\hat{F}{{}^{\circ }}_H=\frac{d}{dt}{\hat{F}}_H(t)=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},{\hat{F}}_H]$

Insbesondere gilt:

$\frac{d}{dt}{\hat{H}}_H=0$

also die bildunabhängige Darstellung

${\hat{H}}_H={\hat{H}}_S=\hat{H}$

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.

Wechselwirkungsbild

Sei $\hat{H}={\hat{H}}^0+{\hat{H}}^1$

mit dem ungestörten Hamiltonoperator ${\hat{H}}^0$ und der Störung ${\hat{H}}^1$.

Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:

${\hat{F}}_W(t)=e^{\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{\hat{F}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}$

Somit gilt wieder die Relation

$\frac{d}{dt}{\hat{F}}_W(t)=\frac{i}{\hslash }[{\hat{H}}^0,{\hat{F}}_W]$

Also:

$\frac{d}{dt}{\hat{H}}^0=0$

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian ${\hat{H}}^0={\hat{H}}_S={\hat{H}}_H$ bildunabhängig. Aber:

$\frac{d}{dt}{\hat{H}}_W(t)=\frac{i}{\hslash }[{\hat{H}}^0,{\hat{H}}_W]=\frac{i}{\hslash }[{\hat{H}}^0,{\hat{H}}^1]\ne 0$

im Allgemeinen

$\begin{array}{cc}& ⟨{\hat{F}}_S⟩={⟨\Psi |}_t{\hat{F}}_S{|\Psi ⟩}_t={⟨\Psi |}_t{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{e}^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{\hat{F}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{e}^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{|\Psi ⟩}_t\\ & {⟨\Psi |}_t{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}={⟨\Psi |}_W\\ & e^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{\hat{F}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}={\hat{F}}_W(t)\\ & e^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{|\Psi ⟩}_0={|\Psi ⟩}_W\\ & ⟨{\hat{F}}_S⟩={⟨\Psi |}_W{\hat{F}}_W(t){|\Psi ⟩}_W\\ \end{array}$

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow \frac{d}{dt}{|\Psi ⟩}_W=\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^0{e}^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{|\Psi ⟩}_t+e^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}\frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t\\ & \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t=\frac{1}{i\hslash }{\hat{H}}_S{|\Psi ⟩}_t=\frac{1}{i\hslash }{\hat{H}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{|\Psi ⟩}_W\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{|\Psi ⟩}_W=\frac{1}{i\hslash }(-{\hat{H}}^0{|\Psi ⟩}_W+{\hat{H}}_W{|\Psi ⟩}_W)\\ & wegen\\ & e^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{\hat{H}}_S{e}^{-\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}={\hat{H}}_W\\ & e^{+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{0}t}{|\Psi ⟩}_t={|\Psi ⟩}_W\\ \end{array}$

Aber:

${\hat{H}}_W={\hat{H}}^0+{\hat{H}}^1$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow \frac{d}{dt}{|\Psi ⟩}_W=\frac{1}{i\hslash }{\hat{H}}^1{|\Psi ⟩}_W\\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{|\Psi ⟩}_W=\frac{1}{i\hslash }{{\hat{H}}_W}^1{|\Psi ⟩}_W\\ \end{array}$

$\frac{d}{dt}{\hat{F}}_W(t)=\frac{i}{\hslash }[{\hat{H}}^0,{\hat{F}}_W]$

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:

${|\Psi ⟩}_W\left(t\right)=e^{\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}^{1}t}{|\Psi ⟩}_W\left(0\right)$

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren ${\hat{F}}_W(t)$ zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator ${\hat{H}}^0$

und damit Eigenvektoren $|n⟩$ zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: ${|\Psi ⟩}_W$ zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator ${{\hat{H}}_W}^1$.