Dynamik des statistischen Operators

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Suche eine Gleichung für

$\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}$

${\begin{aligned}&\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{S}}{\text{.GL:}}i\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{h}}{\text{.c}}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|=\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&\Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left(H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|-\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\right)}\\\end{aligned}}$

$i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[H,\rho \right]$ von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators

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${\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left(t\right)$

$\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle$ wirkt nur im System!

oder

$i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\operatorname {Tr} \left(\left[H,\rho \right]{{O}_{s}}\right)$

erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)

Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

• was kann man mit

${{\rho }_{nn}}=,\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle$ (kann ich damit etwas) anfangen?

• in Quantenmechanik: ${{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}}|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand $\left|n\right\rangle$ zu finden, wenn $\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ vorliegt
• in der Statistik: ${\begin{aligned}&{{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)\\&=\sum \limits _{j}{\left\langle j\right|\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|n\right\rangle \left\langle n|j\right\rangle }\\&=\sum \limits _{j}{\underbrace {\left\langle j|j\right\rangle } _{1}\sum \limits _{i}{\left\langle {{\Psi }_{i}}|n\right\rangle }\left\langle n\right|{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }\\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle n|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}|n\right\rangle }=\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle \end{aligned}}$ Der Wert $\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand $\left|n\right\rangle$ bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem $\left|n\right\rangle$).

Interpreation der Dichtematrixelmente

${{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}$

Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand $\left|n\right\rangle$, von z.B

${{H}_{n}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle$ zu finden

${{p}_{nm}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle m\right|\right)={{\rho }_{nm}}$

Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von $\left|n\right\rangle \to \left|m\right\rangle$

Was man braucht um $\left\langle {{O}_{s}}\right\rangle$ zu berechnen sind $\rho _{nm}(t)$, für $m=n$ und auch für $n\neq m$.

Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: aus von Neumanngleichung

$i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[H,\rho \right]\to {{\dot {\rho }}_{nn}},{{\dot {\rho }}_{nm}}=?$

$\left\langle n\right|\ldots \left|n\right\rangle$

also

${\begin{aligned}&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho \right]\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{m}{\left(\left\langle n\right|H\left|m\right\rangle \left\langle m\right|\rho \left|n\right\rangle -\left\langle n\right|\rho \left|m\right\rangle \left\langle m\right|H\left|n\right\rangle \right)}\\&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\sum \limits _{m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}$

Die Bewegungsgleichung für

${{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}$ koppelt an ${{\rho }_{nm}}\,\left(n\neq m\right)$ braucht also Gleichung für ${{\rho }_{nm}}$ analog $\sum \limits _{i}{\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$ einschieben

$i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left(t\right)=\sum \limits _{i}{\left({{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}}\right)}$

man hat ein geschlossens Gleichunssystem für

${{\rho }_{mn}}$ die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem

${{H}_{n}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle$

${\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder sind}}\\{\text{ nicht diagonal}}\end{smallmatrix}}$

Interpretation:

Datei:??

((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))

wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt. Siehe nächstes Kapitel.