Wellenoptik und Beugung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Wellenoptik und Beugung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen $\rho (\overline{r},t)$ und $\overline{j}(\overline{r},t)$ und bei vorgegebenen Leitern $L_{\alpha }$ im Vakuum:

Ziel

ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V

Anwendung: Radiowellen $\lambda =1-{10}^4$ m Radar Optik $\lambda =400-800nm$ -> Beugung

Rückführung auf Randwertaufgabe

Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen. Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf $L_{\alpha }$

und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2

Annahme:

$\begin{array}{rl}& \rho (\overline{r},t)=\rho \left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ & \overline{j}(\overline{r},t)=\overline{j}\left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ \end{array}$

Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ & \overline{A}(\overline{r},t)=\overline{A}\left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ \end{array}$

eingesetzt in die Wellengleichung

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow (\mathrm{\Delta }+k^2)\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=-\frac{\rho \left(\overline{r}\right)}{{\epsilon }_0}\\ & k:=\frac{\omega }{c}\\ \end{array}$

Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung $\#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

$\#G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (t-t\stackrel{´}{})$

Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})}{{\epsilon }_0}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}{e}^{-i\omega t\stackrel{´}{}}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})\\ & t-t\stackrel{´}{}:=\tau \\ & \Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}{e}^{-i\omega t\stackrel{´}{}}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}{e}^{-i\omega t\stackrel{´}{}}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ & =\left[\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau e^{i\omega \tau }G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right]e^{-i\omega t}:=\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})e^{-i\omega t}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau e^{i\omega \tau }G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau ):=\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\\ & mit\\ & (\mathrm{\Delta }+k^2)\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Problem: Die Randbedingungen für $\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right),\overline{A}$ sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden. Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:

Skalare Kirchhoff- Identität

( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):

Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !

Weiter: Greenscher Satz:

$\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\varphi \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\varphi )=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\varphi \mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\Delta }\varphi )$

Setze:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Psi }(\overline{r})=\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \varphi (\overline{r})=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\\ \end{array}$

Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:

$\begin{array}{rl}& \underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\nabla }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right))=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\Delta }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right))\\ & \mathrm{\Delta }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-k^2\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=\frac{-\rho }{{\epsilon }_0}-k^2\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\\ & \Rightarrow \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\Delta }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right))=-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\\ & \underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\nabla }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}))=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\nabla }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}))\\ & \overline{r}\stackrel{´}{}\in V\\ \end{array}$

Dabei ist $\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$ im inneren von V durch $\mathrm{\Phi }$ und $\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion

$\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$ bekannt ist

Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:

Randbedingung $\begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=0$

• Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\delta (\tau -\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\tau >0\\ 0\tau <0\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& \tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )e^{i\omega \tau }=\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & k:=\frac{\omega }{c}\\ \end{array}$

Es folgt für das Potenzial:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})e^{-i\omega t}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{e}^{-i\omega t}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{e^{i(k|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|-\omega t)}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen. ( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).

Mit

$\overline{R}:=\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}$

lautet die Kirchhoff- Identität:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r}\stackrel{´}{},t)=\frac{1}{4\pi }\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d{\overline{f}}_R[\frac{e^{ikR}}{R}{\mathrm{\nabla }}_r\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}]\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}=\frac{e^{ikR}}{R}(ik-\frac{1}{R})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ \end{array}$

Dazu eine Grafik:

Mittels $d\overline{f}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=df\cos \vartheta$

und über Beschränkung auf Fernzone von $\partial V$ , also R >> 1/k gilt:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r}\stackrel{´}{},t)=\frac{1}{4\pi }\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d{f}_R[\frac{\partial }{\partial n}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-ik\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\cos \vartheta ]\frac{e^{ikR}}{R}$

Mit der richtungsabhängigen Amplitude $[\frac{\partial }{\partial n}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-ik\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\cos \vartheta ]$ und der Kugelwelle $\frac{e^{ikR}}{R}$ . Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.

Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips ( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle). deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´

b) Greensfunktion zu Randbedingungen

$\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}){|}_{\begin{array}{c}\overline{r}\in \partial V\\ \overline{r}\stackrel{´}{}\in V\end{array}}=0$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:

$\begin{array}{rl}& \tilde{G}\left(\overline{R}\right)=g\left(\overline{R}\right)+\frac{1}{4\pi }\frac{e^{ikR}}{R}\\ & (\mathrm{\Delta }+k^2)g=0\\ \end{array}$

Mit Randbedingung

$g{|}_{\partial V}=-\frac{1}{4\pi }{\frac{e^{ikR}}{R}|}_{\partial V}$

Beispiel für die Konstruktion von $\tilde{G}\left(\overline{R}\right)$

Ebener Schirm:

Spiegelladungsmethode:

Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.

Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:

$\begin{array}{rl}& \tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi }(\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|})\\ & \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}):=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}})\\ \end{array}$

Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}):=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}})\\ & =\frac{1}{4\pi }(\frac{e^{ikR}}{R}(ik-\frac{1}{R})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-\frac{e^{ikR\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}(ik-\frac{1}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|})\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{rl}& R=R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & d\overline{f}\cdot \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-d\overline{f}\cdot \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}=+df\cos \vartheta \\ & \Rightarrow d\overline{f}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}=df\frac{1}{2\pi }\frac{e^{ikR}}{R}(ik-\frac{1}{R})\cos \vartheta \\ \end{array}$

Für $\lambda <<R$ ( Fernzone):

$\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{i}{\lambda }\underset{F}{\overset{}{\int }}df\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\cos \vartheta$

Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte ${\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)|}_F$ erraten werden.

Kirchhoffsche Näherung

Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:

Annahme:

${\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)|}_S=0$ Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)

${\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)|}_B=\frac{e^{ik{R}^Q}}{R^Q}$ freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende

Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\frac{i}{\lambda }\underset{B}{\overset{}{\int }}df\frac{e^{ik|R+R^Q|}}{R{R}^Q}\cos \vartheta \\ & \cos \vartheta \approx const.\\ \end{array}$

Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:

$\lambda <<d$

$\begin{array}{rl}& \overline{R}=\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & {\overline{R}}^Q=\overline{r}-{\overline{r}}^Q\\ & df=d^{2}r\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\frac{i}{\lambda }\frac{\cos {\vartheta }_0}{R_0{R_0}^Q}\underset{B}{\overset{}{\int }}df{e}^{ik|R+R^Q|}\\ & \cos \vartheta \approx const.\\ \end{array}$

im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !

• typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik

Grenzfälle

1. Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:
2. $\lambda <<d<<R$
3. )

Setze $\overline{R}={\overline{R}}_0+\overline{s}$

$R^2\approx {R_0}^2+2{\overline{R}}_0\overline{s}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow R\approx R_0+\overline{\alpha }\overline{s}\\ & \overline{\alpha }:=\frac{{\overline{R}}_0}{R_0}\\ \end{array}$

Analog:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow R^Q\approx {R_0}^Q+{\overline{\alpha }}_0\overline{s}\\ & {\overline{\alpha }}_0:=\frac{{{\overline{R}}_0}^Q}{{R_0}^Q}\\ \end{array}$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\approx -\frac{i}{\lambda }{e}^{ik(R_0+{R_0}^Q)}\frac{\cos {\vartheta }_0}{R_0{R_0}^Q}\underset{B}{\overset{}{\int }}{d}^{2}s{e}^{ik(\overline{\alpha }+{\overline{\alpha }}_0)\overline{s}}$

Fresnelsche Beugung ( Mittelzone: $\lambda <<R\approx d$

hier: $R^2={R_0}^2+2{\overline{R}}_0\overline{s}+s^2$ nicht genähert !!

Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):

Bei senkrechtem Einfall gilt: ${\overline{\alpha }}_0\overline{s}=0$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=C\underset{-d/2}{\overset{d/2}{\int }}d{s}_1{e}^{ik\alpha s_1}\\ & \alpha :=\sin {\vartheta }_0\\ & \overline{\alpha }\overline{s}=s_1\sin {\vartheta }_0\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=\frac{C}{ik\alpha }(e^{ik\alpha \frac{d}{2}}-e^{-ik\alpha \frac{d}{2}})\\ & \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=Cd\frac{\sin \left(k\alpha \frac{d}{2}\right)}{k\alpha \frac{d}{2}}\\ \end{array}$

Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)

Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also

$\sin {\vartheta }_0=n\cdot \frac{\lambda }{d}$

ebenso ( als ÜBUNG !!!) können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.

Einwurf: 1. Der holografische Prozess

• 1. Aufzeichnung und Rekonstruktion

Lichtintensität einer Lichtwelle:

$I(x,y)=|O(x,y)|{}^{\text{2}}=O(x,y)\bullet O*(x,y)$

• Phaseninformationen gehen verloren
• Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
• Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
• Kohärenz erforderlich
• monochromatisches Licht
• unpolarisiertes Licht

1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase

• Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
• Überlagerung der Objektwelle

$O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp (i{\phi }_O(x,y))$

• Mit einer Referenzwelle

$R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp (i{\phi }_R(x,y))$

• Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:

$I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^{\text{2}}=\left|O\right|{}^{\text{2}}+\left|R\right|{}^{\text{2}}+OR*+O*R$

$I(x,y)=\left|O\right|{}^{\text{2}}+\left|R\right|{}^{\text{2}}+2RO\cos [{\phi }_R(x,y)-{\phi }_O(x,y)]$

• Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
• Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
• Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
• Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
• Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
• Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
• Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
• Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
• Denisyukhologramm

2. Schritt: Rekonstruktionsphase

• Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
• Ansonsten: Verzerrung
• Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
• Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
• Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
• Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:

$O\stackrel{´}{}=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^{\text{2}}+|R|{}^{\text{2}})+O\cdot \left|R\right|{}^{\text{2}}+R\cdot R\cdot O*$

• Zu beachten: komplexe Funktionen

Fresnel- und Fourier- Hologramme

• Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
• Linse
• Objekt in weiter Entfernung
• Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.

• Fouriernäherung des Beugungsintegrals
• Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals

• 1. Grundlagen der Beugung

• Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
• Keine Berücksichtigung der Polarisation
• Voraussetzung: kohärente Beleuchtung

• Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.

• Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).

• Ausgangspunkt:

Helmholtz- Gleichung $(\mathrm{\nabla }{}^{\text{2}}+k{}^{\text{2}})U(\overline{r})=0$

mit $U(\overline{r})=\frac{e^{i\overline{k}\overline{r}o1}}{ro1}$

• lauter Kugelwellen in x1/y1

$O(xo,yo)\stackrel{~}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x1,y1)\bullet U(\overline{r})dx1dy1$

$\approx \stackrel{~}{}\frac{1}{z}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{ikr}\bullet A(x1,y1)dx1dy1$

• Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende

Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:

$r=\sqrt{(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}+z{}^{\text{2}}}$

$\approx z[1+\frac{(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}}{2z{}^{\text{2}}}]$

Fresnel- Näherung:

• Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild

$O(xo,yo)\approx \stackrel{~}{}\frac{e^{ikz}}{z}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x1,y1)\bullet e^{\frac{i\pi }{\lambda z}[(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}]}dx1dy1$

Fraunhofer- Näherung:

• Aufzeichnung allgemein mit Linse
• Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich

• Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion

Aufzeichnung:

1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt

Hintergrund

• Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen

Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:

• Für schmalen Doppelspalt gilt:

$d\phi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot \frac{a}{\lambda }$

$\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda$ als Maximabedingung

Sofort ersichtlich:

• Variation des Spaltabstands variiert Phase
• Variation der Spaltbreite variiert Amplitude

• Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
• 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2

 $\sin \theta \cdot b=m\lambda$ als Minimabedingung

Der Einfachspalt:

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$O\stackrel{~}{}\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$ entspricht Feldverteilung des E-Feldes: $E\stackrel{~}{}\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$

$I(\theta )=I_o\cdot \text{sinc }{}^{\text{2}}\text{ (}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$

2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:

• Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$E\stackrel{~}{}\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$

• Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode

Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:

$E\stackrel{~}{}\left\{\frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))}\right\}$

$I(\theta )=I_o\text{sin}{\text{c}}^{\text{2}}\text{(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {\left\{\frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))}\right\}}^2$

• Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
• Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
• Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
• Für schmale Spalte: Kammfunktion