Magnetische Induktion

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Magnetische Induktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Experimentelle Erfahrung:

Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:

${\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}})$

Die sogenannte Lorentz- Kraft !

${\bar {B}}({\bar {r}})$ ist die magnetische Induktion am Ort ${\bar {r}}$ , die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte ${\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$ .

Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:

${\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}$

Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:

${\begin{aligned}&{\bar {F}}=q{\bar {E}}({\bar {r}})\\&{\bar {E}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}$

Die Einheiten im SI- System lauten:

$\left[B\right]={\frac {1Ns}{Cm}}={\frac {1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}}\cdot {\frac {s}{{m}^{2}}}=1V{\frac {s}{{m}^{2}}}=1T$

Mit diesen Einheiten ist dann ${{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}{\frac {Vs}{Am}}$ festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !! Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:

Im Gauß System:

${\bar {F}}={\frac {q}{c}}{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}})$

${\begin{aligned}&{\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {1}{c}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}\\&\\\end{aligned}}$

Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:

Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:

Der Strom durch L´:

${\begin{aligned}&{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {v}}{\acute {\ }}={\frac {d}{dt}}\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&{\frac {d}{dt}}\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}=I{\acute {\ }}\\&\Rightarrow {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\\end{aligned}}$

Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:

Die magnetische Induktion ist gerade:

${\begin{aligned}&{\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}I{\acute {\ }}\int _{L{\acute {\ }}}^{}{}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}\\&\\\end{aligned}}$

Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:

$d{\bar {F}}=\rho {\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r={\bar {j}}\times {\bar {B}}{{d}^{3}}r=Id{\bar {r}}\times {\bar {B}}$

Also:

${\bar {F}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}II{\acute {\ }}\int _{L}^{}{}d{\bar {r}}\times \int _{L{\acute {\ }}}^{}{}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}$

Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L

mit

${\begin{aligned}&d{\bar {r}}\times \left(d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times \left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\right)=\left(d{\bar {r}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\right)d{\bar {r}}{\acute {\ }}-\left(d{\bar {r}}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\\&und\\&\int _{L}^{}{}d{\bar {r}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}=-\left.{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0\\\end{aligned}}$

( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:

${\bar {F}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}II{\acute {\ }}\int _{L}^{}{}\int _{L{\acute {\ }}}^{}{}\left(d{\bar {r}}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}$

für parallele Ströme:

$Id{\bar {r}}I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}>0$ folgt Anziehung für antiparallele Ströme:

$Id{\bar {r}}I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}<0$ dagegen Abstoßung

Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:

${\begin{aligned}&{\bar {r}}\leftrightarrow {\bar {r}}{\acute {\ }}\\&d{\bar {r}}\leftrightarrow d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&I\leftrightarrow I{\acute {\ }}\\\end{aligned}}$

Somit:

${\bar {F}}\leftrightarrow -{\bar {F}}$ ( actio gleich reactio)