Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
im äußeren Magnetfeld
beträgt:
mit
mit g~ 2 und e<0
Somit:
![{\displaystyle {\hat {V}}=-{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}\cdot {\bar {B}}=-{\frac {e\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b32e4f2fc2dc800219251a7b3dabbe297116d4)
{{#set:Definition=Larmor-Frequenz|Index=Larmor-Frequenz}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
![{\displaystyle {{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5b89fe06eed7a803be68a6ad72da20b84ec8de)
Berechnung der Erwartungswerte mit
:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bf655898dba3a6dcfd60856fe46c33cac042d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c67598a13b8e1aeda8fe80cb9a73af04c5942c)
Dies läßt sich reduzieren:
![{\displaystyle {\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4301fc95688a1dadf7b3ad0af4adad653638e0e)
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)-{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1793363d80e2bcc49af32c04e33773d5c27ed924)
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
![{\displaystyle {{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d3fef37ed9579d8925685f0ce8a8e44c08c5bf)
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
![{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b82ac71557b22e816dca46112a50e23bfbc5817)
Mit anderen Worten:
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz
um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände
{{#set:Gleichung=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände|Index=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand
in der Spinbasis entwickelbar sein:
![{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left|\downarrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67797108e4a890a2dfc3784c5b971a580060b38)
Matrix- Darstellung:
![{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29022126d085201a4f68f8da707de61cfef1aa5e)
Die Lösung lautet:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\\&{{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb472c7cedd25811c14309d45f124bdfa8daae6)
![{\displaystyle \left|a(t)\right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left|\downarrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59d91b92e9a77474570d48596c014cf10c5067c)
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
, also die Spinpräzession wie oben!