Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
im äußeren Magnetfeld
beträgt:
mit
mit g~ 2 und e<0
Somit:
{{#set:Definition=Larmor-Frequenz|Index=Larmor-Frequenz}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
![{\displaystyle {{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5b89fe06eed7a803be68a6ad72da20b84ec8de)
Berechnung der Erwartungswerte mit
:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bf655898dba3a6dcfd60856fe46c33cac042d3)
Dies läßt sich reduzieren:
![{\displaystyle {\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4301fc95688a1dadf7b3ad0af4adad653638e0e)
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
![{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b82ac71557b22e816dca46112a50e23bfbc5817)
Mit anderen Worten:
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz
um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände
{{#set:Gleichung=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände|Index=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand
in der Spinbasis entwickelbar sein:
Matrix- Darstellung:
![{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29022126d085201a4f68f8da707de61cfef1aa5e)
Die Lösung lautet:
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
, also die Spinpräzession wie oben!