Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=2}}
Kategorie:Quantenmechanik
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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
im äußeren Magnetfeld
beträgt:
mit
mit g~ 2 und e<0
Somit:
{{#set:Definition=Larmor-Frequenz|Index=Larmor-Frequenz}}
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist
der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum).
Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
![{\displaystyle {{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5b89fe06eed7a803be68a6ad72da20b84ec8de)
Berechnung der Erwartungswerte mit
:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5bf655898dba3a6dcfd60856fe46c33cac042d3)
Dies läßt sich reduzieren:
![{\displaystyle {\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4301fc95688a1dadf7b3ad0af4adad653638e0e)
Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene.
Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird.
Die Lösung der Diffgleichung liefert:
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden.
Wähle:
o.B. d.A.:
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
![{\displaystyle {{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b82ac71557b22e816dca46112a50e23bfbc5817)
Mit anderen Worten:
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz
um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände
{{#set:Gleichung=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände|Index=Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!
Dabei muss der Zustand
in der Spinbasis entwickelbar sein:
Matrix- Darstellung:
![{\displaystyle \hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29022126d085201a4f68f8da707de61cfef1aa5e)
Die Lösung lautet:
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man
, also die Spinpräzession wie oben !
Zustände mit Bahn- und Spinvariablen
Sei nun
ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
Allgemein gilt für separable oder Produktzustände
( äquivalente Sprechweise):
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen
zerlegt werden:
mit
In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Mit
entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
folgt aus:
Weiter:
Also die Komponenten von
am Ort
, einmal die Komponente mit Spin
und einmal die Komponente mit Spin
. Dabei gilt:
{{#ask:Kategorie:Mechanik Abschnitt::0
|format=ol
|order=ASC
|sort=Kapitel
|offset=0
|limit=20
}} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei
mit Spin
bzw. Spin
zu finden.
Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum
Hamilton- Operator für Bahn:
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum
Hamilton- Operator für Spin:
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Ohne Berücksichtigung von
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Dabei
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
MIT Berücksichtigung von
In Matrix- Darstellung:
PAULI- GLEICHUNG
Anwendung
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
Dabei wird durch
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm
eine Korrektur an die Energie.
Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
Insgesamt
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
Dabei entspricht
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen s g Q
Elektron 1/2 2 -e
Proton 1/2 5,59 e
Neutron 1/2 -3,83 0
Neutrino 1/2 0 0
Photon 1 0 0