Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Stern-Gerlach Experiment{{#set:Fachbegriff=Stern-Gerlach Experiment|Index=Stern-Gerlach Experiment}}: (1922)
Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png
Für das inhomogene Magnetfeld gilt:
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
![{\displaystyle {\bar {F}}=\nabla \left({{\mu }_{3}}{{B}_{3}}\right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67c8f2ba33651edc3e1bdec1c28af47239cd8bc)
Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe
- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
![{\displaystyle \Rightarrow {\bar {\mu }}\sim {\bar {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5759f8bb7a121c5f11aa29d70954c82c7348cb7)
Eigendrehimpuls (Spin{{#set:Fachbegriff=Spin|Index=Spin}}) des Elektrons !
![{\displaystyle {{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b5229c6769fd557119456980851c6b80cf19fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{m}_{S}}=\pm {\frac {1}{2}}\\&l\equiv s={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1857890a2aea2d4867e4abb4bd43b88706af8f2e)
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {\bar {\mu }}={\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{\bar {S}}\quad e<0\\&\Rightarrow {{\mu }_{3}}={\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{{S}_{3}}=\pm {\frac {+e\hbar }{4{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c205c2a9fbce28db419641961784c92ccd9101a)
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
![{\displaystyle {{\mu }_{3}}=+g{\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{{S}_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a66e01d62651f1ed2c2ce251b1ac3823091d6a6)
mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor{{#set:Fachbegriff=Lande-Faktor|Index=Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor)
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin-Eigenzustände{{#set:Fachbegriff=Spin-Eigenzustände|Index=Spin-Eigenzustände}}:
Spin-Hilbertraum{{#set:Fachbegriff=Spin-Hilbertraum|Index=Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !)
Notation:
- Spin up
![{\displaystyle \left|+{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8af3299f0a389a33c6abaac68e028c4a6352d9e)
- Spin down
![{\displaystyle \left|-{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|\downarrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2abcd39b4792815962a2cd9448970169a121f6b)
Dimensionsloser Spinoperator
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {\bar {S}}}_{3}}\left|\uparrow \right\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\left|\uparrow \right\rangle \Rightarrow {\hat {\bar {\sigma }}}\left|\uparrow \right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {S}}}_{3}}\left|\downarrow \right\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\left|\downarrow \right\rangle \Rightarrow {\hat {\bar {\sigma }}}\left|\downarrow \right\rangle =-\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02da8fa86764d4fb17acef5ed44ad79532b91741)
ist hermitesch
Eigenwerte:
Orthonormierung:
Vollständigkeit:
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|a(t)\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left|a(t)\right\rangle +\left|\downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left|a(t)\right\rangle \\&\left\langle \uparrow \right|\left|a(t)\right\rangle :={{a}_{1}}(t)\\&\left\langle \downarrow \right|\left|a(t)\right\rangle :={{a}_{2}}(t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9c32b1723519cf1aef3df4722ceadd58df192a)
Aus:
![{\displaystyle {\hat {S}}\times {\hat {S}}=i\hbar {\hat {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1827e903a8bfa418c9f01ac6305641fdc24b22ed)
(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation{{#set:Fachbegriff=Drehimpuls-Vertauschungs-Relation|Index=Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}})
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)
folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bar {\sigma }}}\times {\hat {\bar {\sigma }}}=2i{\hat {\bar {\sigma }}}\\&\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{k}}\right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{l}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b14e952bc3d0b3825940e7ab617564c394b5ef1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left|\uparrow \right\rangle \Rightarrow s={\frac {1}{2}}\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle =3\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\left|\downarrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left|\downarrow \right\rangle \Rightarrow s={\frac {1}{2}}\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}\left|\downarrow \right\rangle =3\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3400233d73dd5cc601a261391fc8e983f848a6)
Spin-Leiteroperatoren{{#set:Fachbegriff=Spin-Leiteroperatoren|Index=Spin-Leiteroperatoren}}:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{\pm }}:={{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\pm i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\uparrow \right\rangle ={{\hat {\bar {\sigma }}}_{-}}\left|\downarrow \right\rangle =0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd39687ce819ee84e4b0c93a76384d9f8f9628c)
Somit folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\uparrow \right\rangle =-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\downarrow \right\rangle =i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068d91bc4533db20e9c838fea9fa8b9114d634a8)
Andererseits gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\downarrow \right\rangle =\alpha \left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{-}}\left|\uparrow \right\rangle =\beta \left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb6c43ac5dbc1c6025f362ff3f86c6b8ef43288a)
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
Berechnung der Koeffizienten
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}^{+}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\downarrow \right\rangle \\&=\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}^{2}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}^{2}+i\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]\left|\downarrow \right\rangle \\&\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]=2i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}^{2}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}^{2}={{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}-{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}^{2}\\&\Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}-{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}^{2}-2{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|\downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|3-1+2\left|\downarrow \right\rangle =4\\&\Rightarrow \left|\alpha \right|=2\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b95eb07c152ce97e2515dc20d20e84bffbc549)
Weiter:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
O.B. d. A.: wähle
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
So folgt:
Außerdem:
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}\left\langle \uparrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\uparrow \right\rangle &\left\langle \uparrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\downarrow \right\rangle \\\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\uparrow \right\rangle &\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\downarrow \right\rangle \\\end{matrix}}\right)\\&\alpha ,\beta =1,2\\&i=1,2,3\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45deecd3776eae7b071820552c6ea6184e9266f)
Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen{{#set:Fachbegriff=Paulische Spinmatrizen|Index=Paulische Spinmatrizen}}:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c11ce2e4390bbb5dfd814d3db07284b7701a48)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\\&{\hat {\bar {S}}}=\left({\begin{matrix}\left({\begin{matrix}0&{\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\left({\begin{matrix}0&-i{\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\left({\begin{matrix}{\frac {\hbar }{2}}&0\\0&-{\frac {\hbar }{2}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f6c3feb160fcd3d2c7174fe13ab2d80787cffb)
Was den bekannten Relationen genügt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-i&0\\0&i\\\end{matrix}}\right)=i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}=\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)=-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&\Rightarrow \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1,}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]=2i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77570fbe4045b5420aeb433f84513be4c9557645)
erfüllt, .... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\left\langle \alpha |\uparrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 1}}\\\left\langle \alpha |\downarrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 2}}\\\end{matrix}}\right)\\&\left|\uparrow \right\rangle =\left({\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right)\\&\left|\downarrow \right\rangle =\left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041ab8691763cd8d9b9c0448d0fc7e7b8afd213a)
Dabei kennzeichnen
die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
Zeilenvektoren ( transponiert)
was äquivalent ist zu