Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Stern- Gerlach Experiment: 1922:
Datei:Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png
Für das inhomogene Magnetfeld gilt:
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
![{\displaystyle {\bar {F}}=\nabla \left({{\mu }_{3}}{{B}_{3}}\right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67c8f2ba33651edc3e1bdec1c28af47239cd8bc)
Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe
- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
![{\displaystyle \Rightarrow {\bar {\mu }}{\tilde {\ }}{\bar {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b535d4759b33316a8e6621a3341913b59f103fa)
Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !
![{\displaystyle {{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b5229c6769fd557119456980851c6b80cf19fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{m}_{S}}=\pm {\frac {1}{2}}\\&l\equiv s={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1857890a2aea2d4867e4abb4bd43b88706af8f2e)
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {\bar {\mu }}={\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{\bar {S}}\quad e<0\\&\Rightarrow {{\mu }_{3}}={\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{{S}_{3}}=\pm {\frac {+e\hbar }{4{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c205c2a9fbce28db419641961784c92ccd9101a)
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
![{\displaystyle {{\mu }_{3}}=+g{\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{{S}_{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a66e01d62651f1ed2c2ce251b1ac3823091d6a6)
mit g=2,0023 ,g sogenannter Lande´- Faktor (gyromagnetischer Faktor)
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin- Eigenzustände:
Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !)
Notation:
- Spin up
![{\displaystyle \left|+{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8af3299f0a389a33c6abaac68e028c4a6352d9e)
- Spin down
![{\displaystyle \left|-{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|\downarrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2abcd39b4792815962a2cd9448970169a121f6b)
Dimensionsloser Spinoperator
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
ist hermitesch
Eigenwerte:
Orthonormierung:
Vollständigkeit:
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
Aus:
![{\displaystyle {\hat {S}}\times {\hat {S}}=i\hbar {\hat {S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1827e903a8bfa418c9f01ac6305641fdc24b22ed)
(ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)
folgt:
Spin- leiteroperatoren:;
Somit folgt:
Andererseits gilt:
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
Berechnung der Koeffizienten
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}^{+}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\downarrow \right\rangle \\&=\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}^{2}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}^{2}+i\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]\left|\downarrow \right\rangle \\&\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]=2i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}^{2}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}^{2}={{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}-{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}^{2}\\&\Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}-{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}^{2}-2{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|\downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|3-1+2\left|\downarrow \right\rangle =4\\&\Rightarrow \left|\alpha \right|=2\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b95eb07c152ce97e2515dc20d20e84bffbc549)
Weiter:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
O.B. d. A.: wähle
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
So folgt:
Außerdem:
Zusammenfassung
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen:
Was den bekannten Relationen genügt:
erfüllt, .... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
Dabei kennzeichnen
die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
Zeilenvektoren ( transponiert)
was äquivalent ist zu