Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
65px|Kein GFDL | Der Artikel Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=5}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
Mit der formalen Lösung:
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über ergibt sich für
Also:
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei eine klassische Observable und die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von " als Operator:
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für ,
da im Allgemeinen:
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
folgt:
Also:
Denn:
Merke:
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Bilder
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte ,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild! Now I feel sutpid. That's cleared it up for me
G8MHyi <a href="http://avtqcaltafzn.com/">avtqcaltafzn</a>
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