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* Page found: Spezifische Wärme von Festkörpern (eq math.2576.18)

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Spezifische Wärme von Festkörpern Eq: math.2577.18

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TeX (original user input):

\begin{align}

& T<<{{\Theta }_{D}} \\

& \xi >>1 \\

& \Rightarrow \Psi \left( \xi  \right):=\frac{1}{{{\xi }^{3}}}\int_{0}^{\xi }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\approx \frac{1}{{{\xi }^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{1}{{{\xi }^{3}}}\frac{{{\pi }^{4}}}{15} \\

& U=9\frac{{{\pi }^{4}}}{15}NkT{{\left( \frac{T}{{{\Theta }_{D}}} \right)}^{3}} \\

& \Rightarrow {{C}_{V}}=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{36}{15}{{\pi }^{4}}Nk{{\left( \frac{T}{{{\Theta }_{D}}} \right)}^{3}} \\

& {{c}_{v}}=\frac{12}{5}{{\pi }^{4}}R{{\left( \frac{T}{{{\Theta }_{D}}} \right)}^{3}} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&T<<{{\Theta }_{D}}\\&\xi >>1\\&\Rightarrow \Psi \left(\xi \right):={\frac {1}{{\xi }^{3}}}\int _{0}^{\xi }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}\approx {\frac {1}{{\xi }^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}={\frac {1}{{\xi }^{3}}}{\frac {{\pi }^{4}}{15}}\\&U=9{\frac {{\pi }^{4}}{15}}NkT{{\left({\frac {T}{{\Theta }_{D}}}\right)}^{3}}\\&\Rightarrow {{C}_{V}}={\frac {\partial U}{\partial T}}={\frac {36}{15}}{{\pi }^{4}}Nk{{\left({\frac {T}{{\Theta }_{D}}}\right)}^{3}}\\&{{c}_{v}}={\frac {12}{5}}{{\pi }^{4}}R{{\left({\frac {T}{{\Theta }_{D}}}\right)}^{3}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (46.117 KB / 5.162 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle T<<{{\Theta}_{D% }}\\ \par&\displaystyle\xi>>1\\ \par&\displaystyle\Rightarrow\Psi\left(\xi\right):=\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\int_{% 0}^{\xi}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\approx\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\int_{0% }^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\frac{{{\pi% }^{4}}}{15}\\ \par&\displaystyle U=9\frac{{{\pi}^{4}}}{15}NkT{{\left(\frac{T}{{{\Theta}_{D}}% }\right)}^{3}}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{C}_{V}}=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{36}% {15}{{\pi}^{4}}Nk{{\left(\frac{T}{{{\Theta}_{D}}}\right)}^{3}}\\ \par&\displaystyle{{c}_{v}}=\frac{12}{5}{{\pi}^{4}}R{{\left(\frac{T}{{{\Theta}% _{D}}}\right)}^{3}}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T&lt;&lt;{{\Theta}_{D%&#10;}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\xi&gt;&gt;1\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow\Psi\left(\xi\right):=\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\int_{%&#10;0}^{\xi}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\approx\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\int_{0%&#10;}^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\frac{{{\pi%&#10;}^{4}}}{15}\\&#10;\par&amp;\displaystyle U=9\frac{{{\pi}^{4}}}{15}NkT{{\left(\frac{T}{{{\Theta}_{D}}%&#10;}\right)}^{3}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{C}_{V}}=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{36}%&#10;{15}{{\pi}^{4}}Nk{{\left(\frac{T}{{{\Theta}_{D}}}\right)}^{3}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle{{c}_{v}}=\frac{12}{5}{{\pi}^{4}}R{{\left(\frac{T}{{{\Theta}%&#10;_{D}}}\right)}^{3}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">T</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">≪</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">Θ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">D</mi>
            </msub>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">ξ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">≫</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">ξ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">:=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.cmml">1</mn>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.1.cmml">ξ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">∫</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">0</mn>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">ξ</mi>
                  </msubsup>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.1.cmml">x</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.2.1.cmml">3</mn>
                      </msup>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1.cmml">e</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1.cmml">x</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.3.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.4.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.cmml">1</mn>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.1.cmml">ξ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">∫</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml">0</mn>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml">∞</mi>
                  </msubsup>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1.cmml">x</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1.cmml">3</mn>
                      </msup>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1.cmml">e</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2.1.cmml">x</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.3.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.4.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml">1</mn>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1.cmml">ξ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.31.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1.cmml">π</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.cmml">4</mn>
                  </msup>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.3.cmml">15</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">U</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">9</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.1.cmml">π</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.2.1.cmml">4</mn>
                  </msup>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.cmml">15</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1b" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1c" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">T</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1d" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.cmml">T</mi>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.1.cmml">Θ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.2.1.cmml">D</mi>
                      </msub>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml">3</mn>
              </msup>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1m" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1n" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.17.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.18.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">C</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">V</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.2.2.cmml">U</mi>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.3.2.cmml">T</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.2.cmml">36</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.3.cmml">15</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8.cmml">π</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9.1.cmml">4</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1b" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1c" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.2.cmml">T</mi>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.3.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.3.1.cmml">Θ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.3.2.1.cmml">D</mi>
                      </msub>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.1.cmml">3</mn>
              </msup>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1p" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1q" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1r" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml">c</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.1.cmml">v</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.cmml">12</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.cmml">5</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5.cmml">π</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6.1.cmml">4</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.1a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.7.cmml">R</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.1b" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2.cmml">T</mi>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.1.cmml">Θ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.2.1.cmml">D</mi>
                      </msub>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.11.1.cmml">3</mn>
              </msup>
            </mrow>
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      </mtr>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">much-less-than</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑇</ci>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">Θ</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1">𝐷</ci>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">much-greater-than</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝜉</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">𝜉</ci>
              </apply>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.1">𝜉</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.2.1">3</cn>
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                </apply>
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                      <int id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1">0</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1">𝜉</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13">𝑥</ci>
                    </apply>
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.2.1">3</cn>
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                        <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.5">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.5">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1">𝑒</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1">𝑥</ci>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.4">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <approx id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2">1</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.1">𝜉</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.1">3</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.1">subscript</csymbol>
                      <int id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">0</cn>
                    </apply>
                    <infinity id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1"/>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.2.2.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">differential-d</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21">𝑥</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22">
                      <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1">𝑥</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1">3</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.3"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.5">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.5">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1">𝑒</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2.1">𝑥</ci>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.4">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.30.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2">1</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1">𝜉</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2.1">3</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1">𝜋</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1">4</cn>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.3">15</cn>
                </apply>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1">𝑈</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12">
              <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3">9</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.1">𝜋</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.2.1">4</cn>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3">15</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5">𝑁</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6">𝑘</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">𝑇</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2">𝑇</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.1">Θ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.2.1">𝐷</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1">3</cn>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1">
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.3.1">Θ</ci>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T&lt;&lt;{{\Theta}_{D%
}}\\
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0}^{\xi}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\approx\frac{1}{{{\xi}^{3}}}\int_{0%
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}^{4}}}{15}\\
\par&amp;\displaystyle U=9\frac{{{\pi}^{4}}}{15}NkT{{\left(\frac{T}{{{\Theta}_{D}}%
}\right)}^{3}}\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{C}_{V}}=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{36}%
{15}{{\pi}^{4}}Nk{{\left(\frac{T}{{{\Theta}_{D}}}\right)}^{3}}\\
\par&amp;\displaystyle{{c}_{v}}=\frac{12}{5}{{\pi}^{4}}R{{\left(\frac{T}{{{\Theta}%
_{D}}}\right)}^{3}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{aligned} T < < Θ_{D} \\ ξ > > 1 \\ \Rightarrow Ψ (ξ) : = \frac{1}{ξ^{3}} \int_{0}^{ξ} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} \approx \frac{1}{ξ^{3}} \int_{0}^{\infty} d x \frac{x^{3}}{e^{x} - 1} = \frac{1}{ξ^{3}} \frac{π^{4}}{15} \\ U = 9 \frac{π^{4}}{15} N k T {(\frac{T}{Θ_{D}})}^{3} \\ \Rightarrow C_{V} = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{36}{15} π^{4} N k {(\frac{T}{Θ_{D}})}^{3} \\ c_{v} = \frac{12}{5} π^{4} R {(\frac{T}{Θ_{D}})}^{3} \end{aligned}

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