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* Page found: Spezifische Wärme von Festkörpern (eq math.2575.1)

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Spezifische Wärme von Festkörpern Eq: math.2577.1

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TeX (original user input):

\begin{align}

& {{c}_{Vs}}=3{{N}_{A}}\frac{\partial }{\partial T}\left( \frac{1}{\left[ \exp \left( \frac{\hbar \omega }{kT} \right)-1 \right]}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega =3R\frac{{{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}^{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}}}{{{\left( {{e}^{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}}-1 \right)}^{2}}} \\

& {{\Theta }_{S}}:=\frac{\hbar \omega }{k} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{{c}_{Vs}}=3{{N}_{A}}{\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {1}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1\right]}}+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega =3R{\frac {{{\left({\frac {{\Theta }_{S}}{T}}\right)}^{2}}{{e}^{\left({\frac {{\Theta }_{S}}{T}}\right)}}}{{\left({{e}^{\left({\frac {{\Theta }_{S}}{T}}\right)}}-1\right)}^{2}}}\\&{{\Theta }_{S}}:={\frac {\hbar \omega }{k}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (27.442 KB / 3.183 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{c}_{Vs}}=3{{N}% _{A}}\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{1}{\left[\exp\left(\frac{\hbar% \omega}{kT}\right)-1\right]}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=3R\frac{{{\left(% \frac{{{\Theta}_{S}}}{T}\right)}^{2}}{{e}^{\left(\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}% \right)}}}{{{\left({{e}^{\left(\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}\right)}}-1\right)}^{2}% }}\\ \par&\displaystyle{{\Theta}_{S}}:=\frac{\hbar\omega}{k}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{c}_{Vs}}=3{{N}%&#10;_{A}}\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{1}{\left[\exp\left(\frac{\hbar%&#10;\omega}{kT}\right)-1\right]}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=3R\frac{{{\left(%&#10;\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}\right)}^{2}}{{e}^{\left(\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}%&#10;\right)}}}{{{\left({{e}^{\left(\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}\right)}}-1\right)}^{2}%&#10;}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle{{\Theta}_{S}}:=\frac{\hbar\omega}{k}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">c</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">V</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.cmml">s</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">3</mn>
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              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">N</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">A</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1.cmml">∂</mo>
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                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">1</mn>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.9.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.9.1.cmml">[</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml">exp</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.1.cmml">⁡</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.1.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.1.cmml">(</mo>
                              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.cmml">
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.cmml">
                                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.1.cmml">ℏ</mi>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.3.cmml">⁢</mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.2.cmml">ω</mi>
                                </mrow>
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.1.cmml">k</mi>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.3.cmml">⁢</mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.2.cmml">T</mi>
                                </mrow>
                              </mfrac>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.10.1.1.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.6.cmml">-</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.7.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.9.1.cmml">]</mo>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">+</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml">1</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">ℏ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">ω</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">3</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">R</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.8.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">(</mo>
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.cmml">
                            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.1.cmml">Θ</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.2.1.cmml">S</mi>
                          </msub>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.cmml">T</mi>
                        </mfrac>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.4.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.7.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.9.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.5.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.cmml">(</mo>
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.2.cmml">
                            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.2.1.cmml">Θ</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.2.2.1.cmml">S</mi>
                          </msub>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.3.cmml">T</mi>
                        </mfrac>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.6.1.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.2.cmml">e</mi>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.cmml">(</mo>
                            <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.cmml">
                              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.cmml">
                                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.1.cmml">Θ</mi>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.2.1.cmml">S</mi>
                              </msub>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.3.cmml">T</mi>
                            </mfrac>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.4.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.5.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.9.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.7.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">Θ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">S</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">:=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml">ℏ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml">ω</mi>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">k</mi>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑐</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1">𝑉</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2">𝑠</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">3</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2">subscript</csymbol>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3">
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2">1</cn>
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                              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.1">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.2.2">𝜔</ci>
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                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.4.3.2">𝑇</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.8">superscript</csymbol>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.1">Θ</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2.2.1">𝑆</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.3">𝑇</ci>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.4.1">2</cn>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.9">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.5">𝑒</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.2">𝑒</ci>
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                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.1.2.2.1">Θ</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{c}_{Vs}}=3{{N}%
_{A}}\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{1}{\left[\exp\left(\frac{\hbar%
\omega}{kT}\right)-1\right]}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=3R\frac{{{\left(%
\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}\right)}^{2}}{{e}^{\left(\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}%
\right)}}}{{{\left({{e}^{\left(\frac{{{\Theta}_{S}}}{T}\right)}}-1\right)}^{2}%
}}\\
\par&amp;\displaystyle{{\Theta}_{S}}:=\frac{\hbar\omega}{k}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{aligned} c_{V s} = 3 N_{A} \frac{\partial}{\partial T} (\frac{1}{[\exp (\frac{ℏ ω}{k T}) - 1]} + \frac{1}{2}) ℏ ω = 3 R \frac{{(\frac{Θ_{S}}{T})}^{2} e^{(\frac{Θ_{S}}{T})}}{{(e^{(\frac{Θ_{S}}{T})} - 1)}^{2}} \\ Θ_{S} : = \frac{ℏ ω}{k} \end{aligned}

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$T$

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$T$

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