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U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}+kT\Psi \left( \beta ,{{\mu }_{\alpha }},V \right)

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U\left(S,V,{{\bar {N}}^{\alpha }}\right)=TS+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar {N}}^{\alpha }}+kT\Psi \left(\beta ,{{\mu }_{\alpha }},V\right)

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{\displaystyle{\displaystyle U\left(S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha}}\right)=TS+{{\mu% }_{\alpha}}{{\bar{N}}^{\alpha}}+kT\Psi\left(\beta,{{\mu}_{\alpha}},V\right)}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle U\left(S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha}}\right)=TS+{{\mu%&#10;}_{\alpha}}{{\bar{N}}^{\alpha}}+kT\Psi\left(\beta,{{\mu}_{\alpha}},V\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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            <mi id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">α</mi>
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑈</ci>
          <vector id="p1.1.m1.1.30.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1.2">
            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑆</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">𝑁</ci>
              </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝜇</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">𝑁</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">𝛼</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.2.2">subscript</csymbol>
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}_{\alpha}}{{\bar{N}}^{\alpha}}+kT\Psi\left(\beta,{{\mu}_{\alpha}},V\right)}}</annotation>
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</math>

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U (S, V, {\bar{N}}^{α}) = T S + μ_{α} {\bar{N}}^{α} + k T Ψ (β, μ_{α}, V)

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>S</mi><mo>+</mo><msub><mi>&#x03BC;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mi>k</mi><mi>T</mi><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03B2;</mi><mo>,</mo><msub><mi>&#x03BC;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03B1;</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>V</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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