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* Page found: Dynamik des statistischen Operators (eq math.2249.25)

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Dynamik des statistischen Operators Eq: math.2250.25

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle  n \right|\left[ H,\rho  \right]\left| n \right\rangle  \\
 & =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle  n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle  m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle  n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle  m \right|H\left| n \right\rangle  \right)} \\
 & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\sum\limits_{m}{\left( {{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}} \right)} 
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho \right]\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{m}{\left(\left\langle n\right|H\left|m\right\rangle \left\langle m\right|\rho \left|n\right\rangle -\left\langle n\right|\rho \left|m\right\rangle \left\langle m\right|H\left|n\right\rangle \right)}\\&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\sum \limits _{m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (29.816 KB / 3.213 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle i\hbar{{\partial}_{% t}}{{\rho}_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho\right]\left|n% \right\rangle\\ &\displaystyle=\sum\limits_{m}{\left(\left\langle n\right|H\left|m\right% \rangle\left\langle m\right|\rho\left|n\right\rangle-\left\langle n\right|\rho% \left|m\right\rangle\left\langle m\right|H\left|n\right\rangle\right)}\\ &\displaystyle i\hbar{{\partial}_{t}}{{\rho}_{nn}}\left(t\right)=\sum\limits_{% m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho}_{mn}}-{{\rho}_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle i\hbar{{\partial}_{%&#10;t}}{{\rho}_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho\right]\left|n%&#10;\right\rangle\\&#10;&amp;\displaystyle=\sum\limits_{m}{\left(\left\langle n\right|H\left|m\right%&#10;\rangle\left\langle m\right|\rho\left|n\right\rangle-\left\langle n\right|\rho%&#10;\left|m\right\rangle\left\langle m\right|H\left|n\right\rangle\right)}\\&#10;&amp;\displaystyle i\hbar{{\partial}_{t}}{{\rho}_{nn}}\left(t\right)=\sum\limits_{%&#10;m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho}_{mn}}-{{\rho}_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">i</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">ℏ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">∂</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">t</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">ρ</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">t</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">n</mi>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml">|</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml">[</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">H</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">ρ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml">]</mo>
              </mrow>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml">|</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">m</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">n</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">H</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">m</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">m</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">ρ</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">n</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">ρ</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">m</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">m</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">H</mi>
                      <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">i</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml">⁢</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">ℏ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">∂</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml">t</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">ρ</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.2.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">t</mi>
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              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml">m</mi>
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              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.cmml">(</mo>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.2.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.2.cmml">m</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.3.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.2.cmml">n</mi>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.2.cmml">m</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.3.cmml">
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑖</ci>
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              <interval closure="closed" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝐻</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">𝜌</ci>
              </interval>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝑚</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">quantum-operator-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">𝐻</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝑚</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">quantum-operator-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">𝑚</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">𝜌</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20">quantum-operator-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23">𝜌</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">𝑚</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27">quantum-operator-product</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28">𝑚</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30">𝐻</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24">
              <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">𝑖</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1">subscript</csymbol>
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1">𝑡</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">𝜌</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.1">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.2">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">𝑡</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1">𝑚</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">𝐻</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.1">𝑛</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.2">𝑚</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.1.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">𝜌</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.1">𝑚</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.2">𝑛</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">𝜌</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1">𝑛</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.2">𝑚</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.2.2.3">subscript</csymbol>
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t}}{{\rho}_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho\right]\left|n%
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\rangle\left\langle m\right|\rho\left|n\right\rangle-\left\langle n\right|\rho%
\left|m\right\rangle\left\langle m\right|H\left|n\right\rangle\right)}\\
&amp;\displaystyle i\hbar{{\partial}_{t}}{{\rho}_{nn}}\left(t\right)=\sum\limits_{%
m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho}_{mn}}-{{\rho}_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{array}{l} i ℏ \partial_{t} ρ_{n n} (t) = ⟨ n | [H, ρ] | n ⟩ \\ = \sum_{m} (⟨ n | H | m ⟩ ⟨ m | ρ | n ⟩ - ⟨ n | ρ | m ⟩ ⟨ m | H | n ⟩) \\ i ℏ \partial_{t} ρ_{n n} (t) = \sum_{m} (H_{n m} ρ_{m n} - ρ_{n m} H_{m n}) \end{array}

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