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* Page found: Elektrische Multipolentwicklung (eq math.2082.34)

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Elektrische Multipolentwicklung Eq: math.2082.34

Hash: 62578875125e5819c94e4f0cb65cecbf

TeX (original user input):

{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}-{{\delta }_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}} \right]

TeX (checked):

{{E}_{i}}=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}{\frac {{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{r}^{3}}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left[{\frac {3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}}-{{\delta }_{ik}}{\frac {{p}_{k}}{{r}^{3}}}\right]

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (18.724 KB / 2.499 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\frac{% \partial}{\partial{{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot{{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}% {4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\left[\frac{3{{x}_{i}}\cdot{{p}_{k}}\cdot{{x}_{k}}}{r% 5}-{{\delta}_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}}\right]}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\frac{%&#10;\partial}{\partial{{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot{{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}%&#10;{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\left[\frac{3{{x}_{i}}\cdot{{p}_{k}}\cdot{{x}_{k}}}{r%&#10;5}-{{\delta}_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}}\right]}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">E</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">i</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">1</mn>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.1.cmml">4</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.3.5" xref="p1.1.m1.1.5.3.5.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.cmml">π</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.3.5a" xref="p1.1.m1.1.5.3.5.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.5.3.6" xref="p1.1.m1.1.5.3.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.3.cmml">ε</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.5.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.1.cmml">0</mn>
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          <mo id="p1.1.m1.1.17.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
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                <msub id="p1.1.m1.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml">x</mi>
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                <msub id="p1.1.m1.1.7.2.6" xref="p1.1.m1.1.7.2.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">p</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1.cmml">k</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.2.3" xref="p1.1.m1.1.7.2.3.cmml">⋅</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.7.2.7" xref="p1.1.m1.1.7.2.7.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.4" xref="p1.1.m1.1.7.2.4.cmml">x</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.5.1.cmml">k</mi>
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                <mn id="p1.1.m1.1.7.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.1.cmml">3</mn>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml">4</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.5" xref="p1.1.m1.1.9.3.5.cmml">⁢</mo>
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              <msub id="p1.1.m1.1.9.3.6" xref="p1.1.m1.1.9.3.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml">ε</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.9.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1.cmml">0</mn>
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          </mfrac>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.11.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.9.1.cmml">k</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">i</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">k</mi>
                </mrow>
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            </mrow>
          </mrow>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.6">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.3">𝜀</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.6.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.1">𝑖</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.7.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.3">⋅</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.7.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.6">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.6">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.1">𝑝</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.2.1">𝑘</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.7.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2.4">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">𝑟</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.2">𝜋</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.3">𝜀</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.4.1">0</cn>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.1">𝑟</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2">5</cn>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝛿</ci>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.2.1">3</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\frac{%
\partial}{\partial{{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot{{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}%
{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\left[\frac{3{{x}_{i}}\cdot{{p}_{k}}\cdot{{x}_{k}}}{r%
5}-{{\delta}_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}}\right]}}</annotation>
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E_{i} = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{p_{k} \cdot x_{k}}{r^{3}} = \frac{1}{4 π ε_{0}} [\frac{3 x_{i} \cdot p_{k} \cdot x_{k}}{r 5} - δ_{i k} \frac{p_{k}}{r^{3}}]

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi>E</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub></mstyle><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>4</mn><mi>&#x03C0;</mi><msub><mi>&#x03B5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub><mo>&#x22C5;</mo><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>4</mn><mi>&#x03C0;</mi><msub><mi>&#x03B5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi></mrow></msub><mo>&#x22C5;</mo><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub><mo>&#x22C5;</mo><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>r</mi><mn>5</mn></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>&#x03B4;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></mrow></math>

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$π$

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$r$

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