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* Page found: Elektrische Multipolentwicklung (eq math.2080.6)

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Elektrische Multipolentwicklung Eq: math.2082.6

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TeX (original user input):

\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}\int_{{}}^{{}}{d_{^{{}}}^{3}r\acute{\ }}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })

TeX (checked):

\Phi ({\bar {r}})=\int _{-\infty }^{\infty }{}G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {{\left(-1\right)}^{l}}{l!}}\int _{}^{}{d_{^{}}^{3}r{\acute {\ }}}{{\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {{\nabla }_{r}}\right)}^{l}}G({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (24.072 KB / 3.118 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\Phi(\bar{r})=\int_{-\infty}^{\infty}{{}}G(\bar{r}% -\bar{r}\acute{\ })\rho(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=% 0}^{\infty}{{}}\frac{{{\left(-1\right)}^{l}}}{l!}\int{d^{3}r\acute{\ }}{{\left% (\bar{r}\acute{\ }\cdot{{\nabla}_{r}}\right)}^{l}}G(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute% {\ })}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Phi(\bar{r})=\int_{-\infty}^{\infty}{{}}G(\bar{r}%&#10;-\bar{r}\acute{\ })\rho(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=%&#10;0}^{\infty}{{}}\frac{{{\left(-1\right)}^{l}}}{l!}\int{d^{3}r\acute{\ }}{{\left%&#10;(\bar{r}\acute{\ }\cdot{{\nabla}_{r}}\right)}^{l}}G(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute%&#10;{\ })}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.52" xref="p1.1.m1.1.52.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.52.2" xref="p1.1.m1.1.52.2.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Φ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.52.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.52.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">(</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.52.3" xref="p1.1.m1.1.52.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.52.3.1" xref="p1.1.m1.1.52.3.1.cmml">
          <msubsup id="p1.1.m1.1.52.3.1a" xref="p1.1.m1.1.52.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">-</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">∞</mi>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">∞</mi>
          </msubsup>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.52.3.2" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">G</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.52.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.cmml">
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.1.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml"/>
                  <mo id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">´</mo>
                </mover>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">ρ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.52.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2.cmml">
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.cmml"/>
                <mo id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">´</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.3.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.1c" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.52.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">d</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">3</mn>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.1d" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">r</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.3.2.1e" xref="p1.1.m1.1.52.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">´</mo>
          </mover>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.52.4" xref="p1.1.m1.1.52.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.52.4.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.52.4.1a" xref="p1.1.m1.1.52.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.1.cmml">l</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.27.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.27.1.3" xref="p1.1.m1.1.27.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.29a" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.29.2.7" xref="p1.1.m1.1.29.2.7.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.29.2.1" xref="p1.1.m1.1.29.2.7.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.29.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.7.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.29.2.2" xref="p1.1.m1.1.29.2.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.29.2.3" xref="p1.1.m1.1.29.2.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.29.2.4" xref="p1.1.m1.1.29.2.7.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.29.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.29.2.5.1.cmml">l</mi>
              </msup>
              <mrow id="p1.1.m1.1.29.3" xref="p1.1.m1.1.29.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.29.3.1" xref="p1.1.m1.1.29.3.1.cmml">l</mi>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.29.3.2" xref="p1.1.m1.1.29.3.2.cmml">!</mo>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.52.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2a" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">∫</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">d</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml">3</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">r</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml"/>
                  <mo id="p1.1.m1.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.cmml">´</mo>
                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.1.cmml">
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.cmml">r</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.36.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.37.2.cmml"/>
                          <mo id="p1.1.m1.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.37.1.cmml">´</mo>
                        </mover>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">⋅</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">∇</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.40.1" xref="p1.1.m1.1.40.1.cmml">r</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.3.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.42.1.cmml">l</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1c" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">G</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1d" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">
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                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.45" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">
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                  </mover>
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                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1e" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.47" xref="p1.1.m1.1.47.cmml">ρ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1f" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.5.2.cmml">
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                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.52.4.2.2.1.5.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.50.1" xref="p1.1.m1.1.50.1.cmml">´</mo>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">¯</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2">𝑟</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝐺</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">𝑟</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">´</ci>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">absent</csymbol>
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              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝜌</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">¯</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1">´</ci>
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2">absent</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑑</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">3</cn>
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              <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">𝑟</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1">´</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2">absent</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.27.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1.1">𝑙</ci>
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(\bar{r}\acute{\ }\cdot{{\nabla}_{r}}\right)}^{l}}G(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute%
{\ })}}</annotation>
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Φ (\bar{r}) = \int_{- \infty}^{\infty} G (\bar{r} - \bar{r} \overset{´}{}) ρ (\bar{r} \overset{´}{}) d^{3} r \overset{´}{} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{l}}{l!} \int_{}^{} d_{^{}}^{3} r \overset{´}{} {(\bar{r} \overset{´}{} \cdot \nabla_{r})}^{l} G (\bar{r}) ρ (\bar{r} \overset{´}{})

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