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* Page found: Elektrische Multipolentwicklung (eq math.2078.23)

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{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )

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{{Q}_{l}}=\int _{-\infty }^{\infty }{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}r{{\acute {\ }}^{l}}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){{P}_{l}}(\cos \vartheta )

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Q l = ∫ - ∞ ∞ d 3 ⁢ r ⁢ ´ ⁢ r ⁢ ´ l ⁢ ρ ⁢ ( r ¯ ⁢ ´ ) ⁢ P l ⁢ ( cos ⁡ ϑ ) subscript 𝑄 𝑙 superscript subscript superscript 𝑑 3 𝑟 ´ absent 𝑟 superscript ´ absent 𝑙 𝜌 ¯ 𝑟 ´ absent subscript 𝑃 𝑙 italic-ϑ {\displaystyle{\displaystyle{{Q}_{l}}=\int_{-\infty}^{\infty}{{}}{{d}^{3}}r% \acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho(\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos\vartheta)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{Q}_{l}}=\int_{-\infty}^{\infty}{{}}{{d}^{3}}r%&#10;\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho(\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos\vartheta)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Q</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">l</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">
          <msubsup id="p1.1.m1.1.25.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">-</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml">∞</mi>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">∞</mi>
          </msubsup>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.25.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.25.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">d</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">3</mn>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">r</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">´</mo>
          </mover>
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          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1c" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.25.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.3.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">´</mo>
            </mover>
            <mi id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">l</mi>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1d" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">ρ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1e" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.25.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.cmml">
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.1.cmml">⁢</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml"/>
                <mo id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">´</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1f" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.25.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.5.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">P</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">l</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.1g" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.25.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">cos</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2a" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">ϑ</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑄</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑙</ci>
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        <apply id="p1.1.m1.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2">
          <apply id="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.1">
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.1">subscript</csymbol>
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                <infinity id="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2"/>
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            </apply>
            <infinity id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1"/>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.25.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2">
            <times id="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.2">
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            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑟</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">´</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">absent</csymbol>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑟</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.3">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
                <ci id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">´</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">absent</csymbol>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">𝑙</ci>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝜌</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4">
              <times id="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">
                <ci id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.1">¯</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">𝑟</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17">
                <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">´</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2">absent</csymbol>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.5">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.25.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.5">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑃</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">𝑙</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.25.2.2.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.6">
              <cos id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">italic-ϑ</ci>
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\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho(\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos\vartheta)}}</annotation>
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</math>

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Ql=∫−∞∞d3r´r´lρ(r¯´)Pl(cos⁡ϑ)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi>Q</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msub></mstyle><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><munderover><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mi mathvariant="normal">&#x221E;</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="normal">&#x221E;</mi></mrow></munderover></mstyle><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msup><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mi>r</mi><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msup><mi>&#x03C1;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mspace width="0.5em"/><mo data-mjx-pseudoscript="true">´</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo><msub><mi>P</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></math>

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In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Elektrische Multipolentwicklung page

Identifiers

  • Ql
  • r
  • ´
  • r
  • ´
  • l
  • ρ
  • r¯
  • ´
  • Pl
  • ϑ

MathML observations

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