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* Page found: Poisson- Gleichung und Greensche Funktion (eq math.2077.8)

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Poisson- Gleichung und Greensche Funktion Eq: math.2077.8

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TeX (original user input):

\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}

TeX (checked):

\Delta \Phi ({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{{\Delta }_{r}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{\Delta }_{r}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (26.507 KB / 3.176 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\Delta\Phi(\bar{r})=\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0% }}}{{\Delta}_{r}}\int_{{{R}^{3}}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho\left(\bar{r}% \acute{\ }\right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0% }}}\int_{{{R}^{3}}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta}_{r}}\frac{\rho\left(\bar{r}% \acute{\ }\right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Delta\Phi(\bar{r})=\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0%&#10;}}}{{\Delta}_{r}}\int_{{{R}^{3}}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho\left(\bar{r}%&#10;\acute{\ }\right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi{{\varepsilon}_{0%&#10;}}}\int_{{{R}^{3}}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta}_{r}}\frac{\rho\left(\bar{r}%&#10;\acute{\ }\right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}}}" display="inline">
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    <mrow id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Δ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">Φ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.28.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
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          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">(</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">)</mo>
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          <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">4</mn>
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              <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.3.5a" xref="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.7.3.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">ε</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.7.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.1.cmml">0</mn>
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        <mo id="p1.1.m1.1.28.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.1.cmml">⁢</mo>
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          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">Δ</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">R</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.11.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml">3</mn>
              </msup>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">r</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1.cmml">⁢</mo>
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              <mi id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">´</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.7.2.cmml">(</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.16.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.3.2.cmml">r</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.16.2.3.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.16.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.16.2.4.1.cmml">´</mo>
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                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.16.3.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.3.cmml">-</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.16.3.4.2" xref="p1.1.m1.1.16.3.4.2.cmml">r</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.4.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mo id="p1.1.m1.1.16.3.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.8.1.1.cmml">⁢</mo>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.16.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.5.1.cmml">´</mo>
                      </mover>
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            <mn id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">1</mn>
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              <mn id="p1.1.m1.1.18.3.1" xref="p1.1.m1.1.18.3.1.cmml">4</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.3.5" xref="p1.1.m1.1.18.3.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.18.3.2" xref="p1.1.m1.1.18.3.2.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.3.5a" xref="p1.1.m1.1.18.3.5.cmml">⁢</mo>
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              <msup id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">R</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.20.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.1.cmml">3</mn>
              </msup>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.4.2.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.28.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.4.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">´</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.4.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.28.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.28.4.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.4.2.2.3.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">Δ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">r</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.28.4.2.2.1c" xref="p1.1.m1.1.28.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.27a" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.cmml">ρ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.27.2.6" xref="p1.1.m1.1.27.2.6.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.7" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.2.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.27.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.2.cmml">r</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mo id="p1.1.m1.1.27.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.2.4" xref="p1.1.m1.1.27.2.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.27.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.4.2.cmml"/>
                        <mo id="p1.1.m1.1.27.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.4.1.cmml">´</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.27.2.5" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.27.3" xref="p1.1.m1.1.27.3.7.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.3.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.7.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.27.3.8" xref="p1.1.m1.1.27.3.8.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.3.2" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.cmml">
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                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.27.3.3" xref="p1.1.m1.1.27.3.3.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.27.3.8.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.8.1.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.3.4" xref="p1.1.m1.1.27.3.4.cmml">
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                      </mover>
                      <mo id="p1.1.m1.1.27.3.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.8.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.3.5" xref="p1.1.m1.1.27.3.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.27.3.5.2" xref="p1.1.m1.1.27.3.5.2.cmml"/>
                        <mo id="p1.1.m1.1.27.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.5.1.cmml">´</mo>
                      </mover>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">Δ</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">¯</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">𝑟</ci>
            </apply>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">1</cn>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">4</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2">𝜋</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.7.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.6">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.6">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.3">𝜀</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.4.1">0</cn>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.2">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">Δ</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">𝑟</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.3">
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">𝑅</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.1">3</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2">
                <times id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.3.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.3.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑑</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">3</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑟</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
                  <ci id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">´</ci>
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2">absent</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.1">𝜌</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.16.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.3">
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                        <ci id="p1.1.m1.1.16.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.3.2">𝑟</ci>
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                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.16.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2.4.2">absent</csymbol>
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Δ Φ (\bar{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} Δ_{r} \int_{R^{3}}^{} d^{3} r \overset{´}{} \frac{ρ (\bar{r} \overset{´}{})}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}}^{} d^{3} r \overset{´}{} Δ_{r} \frac{ρ (\bar{r} \overset{´}{})}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}

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$π$

$ε_{0}$

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$R$

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$\bar{r}$

$\overset{´}{}$

$π$

$ε_{0}$

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$r$

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