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* Page found: Der Satz von Liouville (eq math.1968.8)

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Der Satz von Liouville Eq: math.1970.8

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{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( \frac{\partial x}{\partial {{x}_{0}}} \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)

TeX (checked):

{{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {{x}_{0}}}}\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)

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MathML (20.596 KB / 2.676 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{% 0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(\frac{% \partial x}{\partial{{x}_{0}}}\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f% }}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})\right)}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{%&#10;0}}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(\frac{%&#10;\partial x}{\partial{{x}_{0}}}\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f%&#10;}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.3.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.38.3.1a" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
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              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">U</mi>
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          <msup id="p1.1.m1.1.38.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">2</mn>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38.4.1" xref="p1.1.m1.1.38.4.1.cmml">
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            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">det</mo>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.19a" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
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                <mn id="p1.1.m1.1.23.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.2.1.cmml">0</mn>
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          <msup id="p1.1.m1.1.38.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.2.cmml">
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            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">det</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.4a" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.cmml">⁡</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.32.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.1.cmml">t</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.32.1.2" xref="p1.1.m1.1.32.1.5.cmml">,</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.32.1.6" xref="p1.1.m1.1.32.1.6.cmml">
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                      <mn id="p1.1.m1.1.32.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.4.1.cmml">0</mn>
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                  <msub id="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.3.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">x</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mn id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">0</mn>
                  </msub>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.38.5.2.4.1.2.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
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                <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑈</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.2">𝑓</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑥</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">𝑈</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">𝐷</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{t}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{%
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\partial x}{\partial{{x}_{0}}}\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f%
}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})\right)}}</annotation>
  </semantics>
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V_{t} = \int_{U_{t}}^{} d^{2 f} x_{0} = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} \det (\frac{\partial x}{\partial x_{0}}) = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} \det (D Φ_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0}))

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$V_{t}$

$U_{t}$

$f$

$x_{0}$

$U_{t_{0}}$

$f$

$x_{0}$

$x$

$x_{0}$

$U_{t_{0}}$

$f$

$x_{0}$

$D$

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${\bar{x}}_{0}$

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