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* Page found: Generalisierte Koordinaten (eq math.1498.18)

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Generalisierte Koordinaten Eq: math.1500.18

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TeX (original user input):

-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}

TeX (checked):

-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}=-\sum \limits _{i}^{}{{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}}){\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}={{Q}_{j}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (20 KB / 2.589 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle-\frac{\partial V}{\partial{{q}_{j}}}=-\sum\limits% _{i}{{{\nabla}_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}% }}_{N}})\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}{{% {{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle-\frac{\partial V}{\partial{{q}_{j}}}=-\sum\limits%&#10;_{i}{{{\nabla}_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}%&#10;}}_{N}})\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}{{%&#10;{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial{{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
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              <msub id="p1.1.m1.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.2.3.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">q</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.2.3.3.1.cmml">j</mi>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">
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              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">i</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.cmml">
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              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">∇</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.1.cmml">→</mo>
                  </mover>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">i</mi>
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              <mo id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.cmml">⁡</mo>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">(</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mn id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">1</mn>
              </msub>
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              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mn id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">2</mn>
              </msub>
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              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">…</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml">,</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">N</mi>
              </msub>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.24a" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml">
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                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml">
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                    </mover>
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.1.cmml">i</mi>
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                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.24.3.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.24.3.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.2.cmml">q</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.3.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                </mrow>
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      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.4.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.34.4.1a" xref="p1.1.m1.1.34.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">∑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.27.1.cmml">i</mi>
          </munder>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.34.4.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.34.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.2.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">X</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">→</mo>
            </mover>
            <mi id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">i</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.34.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.30a" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.30.2a" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.30.2.4" xref="p1.1.m1.1.30.2.4.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.30.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.3.1.cmml">i</mi>
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                <mo id="p1.1.m1.1.30.3a" xref="p1.1.m1.1.30.3.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.30.3.4" xref="p1.1.m1.1.30.3.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.3.2" xref="p1.1.m1.1.30.3.2.cmml">q</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.3.1.cmml">j</mi>
                </msub>
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        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">=</mo>
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        <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">Q</mi>
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                <ci id="p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2.2">𝑉</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.4">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.2">𝑞</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3.3.1">𝑗</ci>
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            <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">
              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">𝑖</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2">
                <times id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">∇</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.3"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1">
                        <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.1">→</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.2">𝑟</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2">𝑖</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑉</ci>
                </apply>
                <vector id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.2">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
                      <ci id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">1</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.3">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
                      <ci id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">¯</ci>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">2</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">…</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.2.3.4">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">
                      <ci id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">𝑁</ci>
                  </apply>
                </vector>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">
                  <divide id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24"/>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.24.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.2">𝑟</ci>
                      </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">𝑖</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">𝑄</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.33.1">𝑗</ci>
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- \frac{\partial V}{\partial q_{j}} = - \sum_{i}^{} \nabla_{\vec{r} i} V ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, . . ., {\bar{r}}_{N}) \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} \frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} = Q_{j}

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$V$

$q_{j}$

$i$

$\vec{r}$

$i$

$V$

${\bar{r}}_{1}$

${\bar{r}}_{2}$

${\bar{r}}_{N}$

${\bar{r}}_{i}$

$q_{j}$

$i$

${\vec{X}}_{i}$

${\bar{r}}_{i}$

$q_{j}$

$Q_{j}$

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