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* Page found: Der Hamiltonsche kanonische Formalismus (eq math.1325.199)

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Der Satz von Liouville Eq: math.1970.15

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TeX (original user input):

\Rightarrow {{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left( D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}}) \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}^{{}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left( 1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}} \right)\cong {{V}_{t0}}

TeX (checked):

\Rightarrow {{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}}\right)\cong {{V}_{t0}}

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MathML (19.304 KB / 2.638 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}% }}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})% \right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}% _{0}})}^{2}}\right)\cong{{V}_{t0}}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Rightarrow{{V}_{t}}=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}%&#10;}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det\left(D{{\Phi}_{t,{{t}_{0}}}}({{{\bar{x}}}_{0}})%&#10;\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}%&#10;_{0}})}^{2}}\right)\cong{{V}_{t0}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.43.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.cmml"/>
      <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">⇒</mo>
      <msub id="p1.1.m1.1.43.3" xref="p1.1.m1.1.43.3.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">V</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">t</mi>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.43.4.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.43.4.1a" xref="p1.1.m1.1.43.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∫</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">U</mi>
              <msub id="p1.1.m1.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.1.cmml">t</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.6.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.2.1.cmml">0</mn>
              </msub>
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        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.43.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">d</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">⁢</mo>
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            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">x</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">0</mn>
          </msub>
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            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">det</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.4a" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.cmml">⁡</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">D</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.15.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml">t</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.15.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.4.1.cmml">0</mn>
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                  </mrow>
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                  <msub id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.3.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">x</mi>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">0</mn>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.43.5.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.43.5.1a" xref="p1.1.m1.1.43.5.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">∫</mo>
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          <msup id="p1.1.m1.1.43.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.2.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.25.1.3.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml">f</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.43.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">x</mi>
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          </msub>
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            <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.cmml">
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              <mrow id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.4.2.1.2.2.2.cmml">(</mo>
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                    </mrow>
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                </msup>
              </mrow>
            </mrow>
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        <mi id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">V</mi>
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          <mo id="p1.1.m1.1.42.1.3" xref="p1.1.m1.1.42.1.3.cmml">⁢</mo>
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            <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑡</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.1">𝑈</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑑</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2">𝑓</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝐷</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.4.2.4.1.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">Φ</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1">𝑡</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3">𝑡</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.4.1">0</cn>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2">𝑥</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑑</ci>
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                  <times id="p1.1.m1.1.25.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2">𝑓</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.43.5.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.5.2.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27.1">0</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">𝑂</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">𝑡</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.41">𝑉</ci>
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\right)=\int\limits_{{{U}_{{{t}_{0}}}}}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}%
_{0}})}^{2}}\right)\cong{{V}_{t0}}}}</annotation>
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\Rightarrow V_{t} = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} \det (D Φ_{t, t_{0}} ({\bar{x}}_{0})) = \int_{U_{t_{0}}}^{} d^{2 f} x_{0} (1 + O {(t - t_{0})}^{2}) ≅ V_{t 0}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mo>&#x21D2;</mo><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munderover><mo form="prefix" texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mi>f</mi></mrow></mrow></msup><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mi>det</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>D</mi><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi><mo>,</mo><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><munderover><mo form="prefix" texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mi>f</mi></mrow></mrow></msup><msub><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>&#x2245;</mo><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>t</mi><mn>0</mn></mrow></mrow></msub></mstyle></mrow></math>

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$V_{t}$

$U_{t_{0}}$

$f$

$x_{0}$

$D$

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$U_{t_{0}}$

$f$

$x_{0}$

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$t$

$t_{0}$

$V_{t 0}$

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