Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b87e621b1ae5b113659edca31ae4f9078b03312)
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
![{\displaystyle {{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fc34f9988e7d32e7a403a187171591ee71df5c)
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
![{\displaystyle U(t,0)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)}^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6a2e1676f14d02a12324df3458503d4efa0dbe)
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={\hat {H}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={\hat {H}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{}{\frac {1}{n-1!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n-1}}{{\hat {H}}^{n-1}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74017898805b2680cf9a3e088b1a1523f7172b3d)
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Klar:
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
![{\displaystyle {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {H}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f5fdcdb01f27ccfb6e5780a527b9aa5f3a9b69)
Mit der formalen Lösung:
![{\displaystyle {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d124237de6f7cc7a5c504e65e8f094f19eec05f)
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
ergibt sich für
![{\displaystyle {\hat {F}}={\hat {F}}\left({\hat {\bar {r}}},{\hat {\bar {p}}},t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627f282f309910063a4cadb3ac1dc0931b9206b7)
![{\displaystyle \left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0295bf90c9916c4940ba2cde3b16f4800f2b673)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\right){\frac {d}{dt}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right)\\&\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\right)=-{\frac {1}{i\hbar }}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {H}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5fd50adcc03a014d0ac97e503cc532c3ee9801)
Also:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a912a32aeba9bbfd81fd563a1e9d8e1c8ad9402)
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
![{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af81436e01a6554a1801f1fa0f9b63a4ced73e85)
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
eine klassische Observable und
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\sum \limits _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}\\&{\frac {d}{dt}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\sum \limits _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\left\{H,F\right\}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ff030a758db234cab3efaf4542da761da46dfe)
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
![{\displaystyle \left\{H,F\right\}\to {\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c0e909884b5fc8b501dad04cca9955077c101f)
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
" als Operator:
![{\displaystyle {\hat {F}}{}^{\circ }={\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f9be7488814f826b16fd1dd9c499d39b6e3608)
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für
,
da im Allgemeinen:
![{\displaystyle {\hat {F}}{}^{\circ }\neq {\frac {d{\hat {F}}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5918281856400e3f31aa200cf45d4cd54ad6ba1)
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
![{\displaystyle \left\langle {\hat {F}}{}^{\circ }\right\rangle ={\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a666d84aca87d017e3e199c801565d9982fab885)
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bar {r}}}{}^{\circ }={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {r}}}\right]\\&{\hat {\bar {p}}}{}^{\circ }={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {p}}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2371b634f47df63d7517454c709b5f1d9dfca8)
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {r}}}=0\\&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {p}}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17817ca76230b643411f428c327270d17e61622)
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
![{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\bar {p}}}^{2}}{2m}}+V({\hat {\bar {r}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a72d8b6762c44710dee9470cbcff603ab29cc8c)
folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {p}}_{k}}}}\\&\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {x}}_{k}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3567af6fa113b35c7e0935c23ad80a837e2c594)
Also:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\bar {r}}}{}^{\circ }={\frac {\hat {\bar {p}}}{m}}\\&{\hat {\bar {p}}}{}^{\circ }=-\nabla V\left({\hat {\bar {r}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b87aa2f73e55b291a663ac1377a778dc51d7f6)
Denn:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {p}}_{k}}}}={\frac {\hbar }{i}}{{\hat {x}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{\hat {x}}^{\circ }}={\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\hat {p}}}}={\frac {\hat {p}}{m}}\\&\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {x}}_{k}}}}\Rightarrow {{\hat {p}}^{\circ }}=-{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\hat {x}}}}=-\nabla V\left({\hat {x}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388591d3faa8429fdac2dd91dbd607e2353fb99d)
Merke:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {\bar {r}}}^{{}^{\circ }}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {\bar {p}}}^{{}^{\circ }}}\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2888d835e309c7538a6cc5f6ec2060b52f1667)
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle ={\frac {1}{m}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =-\left\langle \nabla V\left({\hat {\bar {r}}}\right)\right\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b30d37f33105d64a09b4f034a39b5acfc478ef7)
da ja:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Bilder
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left|\Psi \right\rangle \to \left|\Psi {\acute {\ }}\right\rangle =U\left|\Psi \right\rangle \\&{\hat {F}}\to {\hat {F}}{\acute {\ }}=U{\hat {F}}{{U}^{+}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6bcbbd3581b269bf7d8f569ff1cd2817a74d23)
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte
,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
Now I feel sutpid. That's cleared it up for me
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