Der Satz von Liouville

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Der Satz von Liouville basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Lösung der Differenzialgleichung

$\dot{\overline{x}}:=A\overline{x}=J{\overline{H}}_{,x}$

$\overline{x}(t,t_0,{\overline{x}}_0)=:{\overline{\mathrm{\Phi }}}_{t,t_0}({\overline{x}}_0)$

Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

$\begin{array}{ll}& {\overline{\mathrm{\Phi }}}_{t,t_0}({\overline{x}}_0):\mathrm{\Gamma }\to \mathrm{\Gamma }\\ & {\overline{x}}_0(t_0)\to \overline{x}(t)\\ \end{array}$

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

$\begin{array}{ll}& (q,p)\in \mathrm{\Gamma }\\ & \dot{q}=p\\ & \dot{p}=-{{\omega }_0}^{2}q\\ & \dot{\overline{x}}=A\overline{x}\\ & A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{{\omega }_0}^2& 0\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Die Lösung lautet:

$\overline{x}(t)={\overline{\mathrm{\Phi }}}_{t-t_0}({\overline{x}}_0)=\exp \left[(t-t_0)A\right]{\overline{x}}_0$

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

$\begin{array}{ll}& \overline{x}(t)=\sum _n\frac{{\left[(t-t_0)A\right]}^n}{n!}{\overline{x}}_0=[1\cos {\omega }_0(t-t_0)+\frac{A}{{\omega }_0}\sin {\omega }_0(t-t_0)]{\overline{x}}_0\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos {\omega }_0(t-t_0)& \frac{1}{{\omega }_0}\sin {\omega }_0(t-t_0)\\ -{\omega }_0\sin {\omega }_0(t-t_0)& \cos {\omega }_0(t-t_0)\\ \end{array}\right){\overline{x}}_0\\ \end{array}$

Beweis:

$\begin{array}{ll}& A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{{\omega }_0}^2& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -{{\omega }_0}^2& 0\\ \end{array}\right)=-{{\omega }_0}^{2}1\\ & A^{2n}={(-1)}^{2n}{{\omega }_0}^{2n}1\\ & A^{2n+1}={(-1)}^n{{\omega }_0}^{2n+1}\frac{1}{{\omega }_0}A\\ \end{array}$

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten (auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

Beweis (integrale Form):

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

$V_{to}=\underset{U_{to}}{\overset{}{\int }}{d}^{2f}{x}_0$

Bei t:

$V_t=\underset{U_t}{\overset{}{\int }}{d}^{2f}{x}_0=\underset{U_{t_0}}{\overset{}{\int }}{d}^{2f}{x}_0\det \left(\frac{\partial x}{\partial x_0}\right)=\underset{U_{t_0}}{\overset{}{\int }}{d}^{2f}{x}_0\det (D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}({\overline{x}}_0))$

Mit der Jacobi- Matrix:

${(D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}({\overline{x}}_0))}_{ik}:=\frac{\partial {{\mathrm{\Phi }}^i}_{t,t_0}({\overline{x}}_0)}{\partial {x_0}^k}=\frac{\partial x^i}{\partial {x_0}^k}$

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}({\overline{x}}_0)={\overline{x}}_0+\overline{F}({\overline{x}}_0,t)(t-t_0)+O({(t-t_0)}^2)\\ & \overline{F}({\overline{x}}_0,t)=J{\overline{H}}_{,x}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial H}{\partial p}\\ -\frac{\partial H}{\partial q}\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Somit folgt:

$\frac{\partial {{\mathrm{\Phi }}^i}_{t,t_0}({\overline{x}}_0)}{\partial {x_0}^k}={\delta }_{ik}+\frac{\partial {\overline{F}}^i({\overline{x}}_0,t)}{\partial {x_0}^k}(t-t_0)+O({(t-t_0)}^2)$

Mit Hilfe

$\det (1+B\epsilon )=1+\epsilon tr(B)+O({\epsilon }^2)$

folgt:

$\begin{array}{ll}& \det \left(D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}\right)=\left|\frac{\partial {{\mathrm{\Phi }}^i}_{t,t_0}({\overline{x}}_0)}{\partial {x_0}^k}\right|=1+(t-t_0)\sum _{i=1}^{2f}\frac{\partial {\overline{F}}^i({\overline{x}}_0,t)}{\partial {x_0}^i}(t-t_0)+O({(t-t_0)}^2)\\ & \sum _{i=1}^{2f}\frac{\partial {\overline{F}}^i({\overline{x}}_0,t)}{\partial {x_0}^i}=div\overline{F}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}=0\\ \end{array}$

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

$\det \left(D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}\right)=\left|\frac{\partial {{\mathrm{\Phi }}^i}_{t,t_0}({\overline{x}}_0)}{\partial {x_0}^k}\right|=1+O({(t-t_0)}^2)\cong 1$

$\Rightarrow V_t=\underset{U_{t_0}}{\overset{}{\int }}{d}^{2f}{x}_0\det (D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}({\overline{x}}_0))=\underset{U_{t_0}}{\overset{}{\int }}{d}^{2f}{x}_0(1+O{(t-t_0)}^2)\cong V_{t0}$

Nebenbemerkung:

Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:

Für den Fluß

${\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}$ zu $\dot{\overline{x}}:=J{\overline{H}}_{,x}$ ist $D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}$

eine symplektische Matrix, das heißt

$\det \left(D{\mathrm{\Phi }}_{t,t_0}\right)=1$.

Das bedeutet, das Volumenelement

$d{x}^1...d{x}^{2f}$

im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:

$d{x}^1...d{x}^{2f}=Det(D\mathrm{\Phi })d{x_0}^1....d{x_0}^{2f}=d{x_0}^1....d{x_0}^{2f}$

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi

$\begin{array}{ll}& x^i(t)=\sum _{k=1}^2{P}_{ik}{x_0}^k\\ & P=\left(\begin{array}{cc}\cos {\omega }_0(t-t_0)& \frac{1}{{\omega }_0}\sin {\omega }_0(t-t_0)\\ -{\omega }_0\sin {\omega }_0(t-t_0)& \cos {\omega }_0(t-t_0)\\ \end{array}\right)\\ & \det P={\cos }^2{\omega }_0(t-t_0)+{\sin }^2{\omega }_0(t-t_0)=1\\ & d{x}^{1}d{x}^2=(\det P)d{x_0}^{1}d{x_0}^2=d{x_0}^{1}d{x_0}^2\\ \end{array}$