Die Dirac Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

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Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. T. Brandes|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=4}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Die Klein-Gordon-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Klein-Gordon-Gleichung|Index=Klein-Gordon-Gleichung}}

${(\mathfrak{i}{\partial }_t-e\varphi )}^2\mathrm{\Psi }=({(\widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A})}^2+m^2)\mathrm{\Psi }c=\hslash =1$

(1.29)

lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=(\pm \sqrt{{(\widehat{\underset{\_}{p}}-e\underset{\_}{A})}^2+m^2}+e\varphi )\mathrm{\Psi }$

(1.30)

Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.

Dirac: Linearisierung als

$\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi }\hat{H}=e\varphi +\underset{\_}{\alpha }(\underset{\_}{\hat{p}}-e\underset{\_}{A})+\beta m$

(1.31)

mit $\underset{\_}{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),\beta$ zu bestimmen.

Ansatz $[\underset{\_}{\alpha },\underset{\_}{p}]=[\beta ,p_i]=0$

Für $\varphi =\underset{\_}{A}=0$ soll$\hat{H}=\sqrt{{\widehat{\underset{\_}{p}}}^2+m^2}$ also ${\underset{\_}{\hat{p}}}^2+m^2={(\underset{\_}{\alpha }\underset{\_}{\hat{p}}+\beta m)}^2$.

Vielleicht liefert

${\beta }^2=1,{\alpha }_i\beta +\beta {\alpha }_i=0,{\alpha }_i{\alpha }_j+{\alpha }_j{\alpha }_i=2{\delta }_{ij}i\in \{1,2,3\}$

(1.32)

die Lösung.

$\underset{\_}{\alpha },\beta$erzeugen eine sogenannten Clifford-Algebra{{#set:Fachbegriff=Clifford-Algebra|Index=Clifford-Algebra}} von 4x4 Matrizen

Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:

• ${\alpha }_i,\beta$ sollen hermitesch sein ($\hat{H}$soll nur reelle Eigenwerte haben):${\alpha }_i={{\alpha }_i}^{+}\equiv {\left({a_i}^{*}\right)}^T$
• ${\beta }^2={\alpha }_i^2=1\Rightarrow \beta ={\beta }^T={\beta }^{-1}\Rightarrow \beta$unitär, ebenso ${\alpha }_i$ unitär
• Aus ${\alpha }_i=-\beta {\alpha }_i{\beta }^{-1}\Rightarrow \underset{\text{Spur}}{\underbrace{Tr}}\left({\alpha }_i\right)=-Tr\left(\beta {\alpha }_i{\beta }^{-1}\right)\underset{\text{zyklische Vertauschung}}{\underbrace{=}}-Tr\left({\alpha }_i\right)\Rightarrow Tr\left({\alpha }_i\right)=0$

analog $\beta =-{\alpha }_i\beta {{\alpha }_i}^{-1}\Rightarrow Tr\left(\beta \right)=0$

• ${\beta }^2={\alpha }_i^2=1\Rightarrow {\alpha }_i,\beta$haben nur die Eigenwerte $\pm 1$
• Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben ${\alpha }_i,\beta$ grade Dimension
• 2x2 Matrizen tun es nicht:

Freie Parameter bei Matrizen

M	P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M
komplex	2N²
Komplex, hermitesch $M=M^T$	N²(Diagonale)+N²-N=N²
$M=M^T,Tr\left(M\right)=0$	$N^2-1$ wegen der Zusatzbedingung $Tr\left(M\right)=0$

Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.

2x2 Matritzden M mit $M=M^T,Tr\left(M\right)=0$ lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-Matrizen{{#set:Fachbegriff=Pauli-Matrizen|Index=Pauli-Matrizen}}

${\sigma }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right){\sigma }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -\mathfrak{i}\\ \mathfrak{i}& 0\\ \end{array}\right){\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)$

(1.33)

darstellen, d.h,

$M=\underset{\_}{p}.\underset{\_}{\sigma }=p_1{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1+p_2{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2+p_2{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,\underset{\_}{\sigma }=\underset{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}{\underbrace{({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_3)}},\underset{\_}{p}=\underset{\in {\mathbb{ℝ}}^3}{\underbrace{(p_1,p_2,p_3)}}$

${{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^2=\underset{\_}{\underset{\_}{1}},{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^T={\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i,Tr\left({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i\right)=0,\{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j\}:={\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j-{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_j{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i=2{\delta }_{ij}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}$

(1.34)

Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.

Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)

${\alpha }_i=\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{0}}& {\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i\\ {\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\underset{\_}{1}}& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \underset{\_}{\underset{\_}{0}}& -\underset{\_}{\underset{\_}{1}}\\ \end{array}\right)$

(1.35)

Es gilt ${{\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i}^2=\left(\begin{array}{cc}{{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^2& \underset{\_}{\underset{\_}{0}}\\ \underset{\_}{\underset{\_}{0}}& {{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_i}^2\\ \end{array}\right),{\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}}^2=\underset{\_}{\underset{\_}{1}}$(4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)

Außerdem ${\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i={{\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i}^T,\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}={\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}}^T,{\underset{\_}{\underset{\_}{\alpha }}}_i,\underset{\_}{\underset{\_}{\beta }}$unitär und spurlos.

Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Dirac-Gleichung|Index=Dirac-Gleichung}} (ohne Elektromagnetische Felder)

Dirac-Gleichung $\mathfrak{i}{\partial }_t\mathrm{\Psi }=(\underset{\_}{\alpha }.\widehat{\underset{\_}{p}}-\beta m)\mathrm{\Psi }$

(1.36)

sind 4-komponentige Spinoren$\mathrm{\Psi }\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Psi }}_1\left(x\right)\\ {\mathrm{\Psi }}_2\left(x\right)\\ {\mathrm{\Psi }}_3\left(x\right)\\ {\mathrm{\Psi }}_4\left(x\right)\\ \end{array}\right),x=(ct,\underset{\_}{x})$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN