Klein Gordon und Relativität

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

65px|Kein GFDL

Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Einstein (SRT):

• gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
• Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

miniatur| Geschwindigkeit v parallel zu x Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left|r\right|=ct$ zurück. ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad$ (in S)    (1.9) Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $\left({\underline {r}}',{t}'\right)$ in S‘, für die gilt ${{{r}'}^{2}}-{{\underbrace {c} _{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad$ (in S‘)    (1.10)

Die Transformation der Koordinaten erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{#set:Fachbegriff=Lorentz-Transformation|Index=Lorentz-Transformation}}

$\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)$

(1.11)

mit

$\beta ={\frac {v}{c}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}$

Daraus folgt (mit v → -v) (CHECK)

$\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&\beta \\\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

${\begin{aligned}&{\underline {{{{x}'}^{2}}-{{c}^{2}}{{{t}'}^{2}}}}=\left({\begin{matrix}{{x}'}&c{t}'\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)\\&={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1-{{\beta }^{2}}&0\\0&-1+{{\beta }^{2}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)={\underline {{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}}\end{aligned}}$

• Unter Lorentz-Transformation bleibt ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}$ invariant.
• Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges${\underline {r}}$.
• Insbesondere bleiben die Lichtabstände{{#set:Fachbegriff=Lichtabstände|Index=Lichtabstände}} ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0$ invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

Wellengleichung{{#set:Fachbegriff=Wellengleichung|Index=Wellengleichung}} für skalares klassisches Feld $\varphi \left({\underline {x}},t\right)$

in S:$\underbrace {\left({{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}}\right)} _{\square }\phi \left({\underline {x}},t\right)=0$ in S':$\quad \quad \underbrace {\left({{c}^{-2}}\partial _{{t}'}^{2}-{{{\nabla }'}^{2}}\right)} _{{\square }'}\phi \left({\underline {x}}',{t}'\right)=0$

(1.13)

mit ${{\nabla }^{2}}=\partial _{{x}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{x}_{2}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{x}'}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{{x}'}_{2}}^{^{2}}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $\square$in ${\square }'$übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

Hierzu

${\begin{aligned}&{{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left({{x}'}\right){{\partial }_{{x}'}}+{{\partial }_{x}}\left({{t}'}\right){{\partial }_{{t}'}}=\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\\&\partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\\&\partial _{t}^{2}\,{\text{analog}}\\\end{aligned}}$

AUFGABE

• d’Alembert-Operator $\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ist invariant unter LT
• Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellen{{#set:Fachbegriff=ebene Wellen|Index=ebene Wellen}} (und deren Überlagerungen):

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)={{e}^{\mp {\frac {\mathfrak {i}}{\hbar }}{\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}}\,t+i{\underline {p}}.{\underline {x}}}}$

(1.14)

mit

${\begin{aligned}&-:\,{\text{ negative Energie +}}{\sqrt {}}\\&+:\,{\text{ postivive Energie -}}{\sqrt {}}\\\end{aligned}}$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

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